1. Énonçons le problème : expliquer en détail l'inégalité des moyennes arithmético-géométriques (AM-GM). 2. L'inégalité AM-GM affirme que pour tout ensemble de nombres réels positifs $a_1, a_2, \ldots, a_n$, la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique. Formellement : $$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$ 3. Cette inégalité est fondamentale en mathématiques et s'applique uniquement aux nombres positifs car la moyenne géométrique nécessite des racines n-ièmes de produits positifs. 4. Pour comprendre pourquoi, considérons le cas $n=2$ pour simplifier : $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$ 5. Preuve simple : partons de l'expression $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ car un carré est toujours positif ou nul. 6. Développons : $$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$$ 7. Réarrangeons : $$a + b \geq 2\sqrt{ab}$$ 8. Divisons par 2 : $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$ 9. Cette preuve montre que la moyenne arithmétique est toujours au moins égale à la moyenne géométrique. 10. Pour $n$ variables, la preuve utilise souvent la récurrence ou des méthodes plus avancées comme la convexité. 11. En résumé, l'inégalité AM-GM est un outil puissant pour comparer moyennes et est utilisée dans de nombreux domaines mathématiques et applications pratiques.