1. Énonçons le problème : Montrer que pour tous nombres réels positifs $a$ et $b$, on a $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. 2. Cette inégalité est connue sous le nom d'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM). Elle affirme que la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique. 3. Formule utilisée : $$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$ 4. Multiplions les deux côtés par 2 pour obtenir : $$a+b \ge 2\sqrt{ab}$$ 5. Preuve : - Partons de l'expression $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ car un carré est toujours positif ou nul. - Développons : $$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$$ - Réarrangeons : $$a + b \ge 2\sqrt{ab}$$ 6. Conclusion : L'inégalité est démontrée car elle découle de la positivité d'un carré. Cette inégalité est très utile en algèbre et en analyse pour comparer des moyennes et résoudre des problèmes d'optimisation.