1. **Énoncé du problème :** Comprendre ce qu'est un homomorphisme en algèbre. 2. **Définition :** Un homomorphisme est une application entre deux structures algébriques (groupes, anneaux, espaces vectoriels, etc.) qui respecte les opérations définies sur ces structures. 3. **Formule générale :** Si $f : A \to B$ est un homomorphisme entre deux structures algébriques avec une opération $\ast$, alors pour tous $x, y \in A$, on a $$f(x \ast y) = f(x) \ast f(y).$$ 4. **Explication :** Cela signifie que l'image du produit (ou de l'opération) de deux éléments est égale au produit (ou à l'opération) des images de ces éléments. 5. **Exemple simple :** Pour des groupes $(G, \cdot)$ et $(H, \cdot)$, un homomorphisme $f$ vérifie $$f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y).$$ 6. **Propriétés importantes :** - $f(e_A) = e_B$ où $e_A$ et $e_B$ sont les éléments neutres de $A$ et $B$. - $f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}$ pour tout $x \in A$. 7. **Conclusion :** Un homomorphisme conserve la structure algébrique, ce qui est fondamental pour étudier les relations entre différentes structures.