1. Énoncé du problème : Montrer que $\mathrm{cl}(\frac{35}{6}) = \mathrm{cl}(\frac{5}{6})$ dans $G = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ et en déduire l'ordre de $\mathrm{cl}(\frac{35}{6})$. 2. Rappel : Dans $G = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, deux éléments $x,y \in \mathbb{Q}$ sont égaux modulo $\mathbb{Z}$ si et seulement si leur différence est un entier, c'est-à-dire $x - y \in \mathbb{Z}$. 3. Calcul de $\mathrm{cl}(\frac{35}{6})$ : $$\frac{35}{6} - \frac{5}{6} = \frac{30}{6} = 5 \in \mathbb{Z}$$ Donc $\mathrm{cl}(\frac{35}{6}) = \mathrm{cl}(\frac{5}{6})$. 4. Détermination de l'ordre de $\mathrm{cl}(\frac{5}{6})$ : L'ordre d'un élément $\mathrm{cl}(x)$ dans $G$ est le plus petit entier $n > 0$ tel que $n \cdot x \in \mathbb{Z}$. Calculons : $$n \cdot \frac{5}{6} \in \mathbb{Z} \iff \frac{5n}{6} \in \mathbb{Z} \iff 6 \mid 5n$$ Comme $5$ et $6$ sont premiers entre eux, $6$ doit diviser $n$. Donc l'ordre est $6$. 5. Deuxième question : Montrer que pour tout $x \in G$, il existe un unique $\alpha \in \mathbb{Q} \cap [0,1[$ tel que $x = \mathrm{cl}(\alpha)$. 6. Preuve d'existence : Pour $x = \mathrm{cl}(q)$ avec $q \in \mathbb{Q}$, on peut écrire $q = n + \alpha$ avec $n \in \mathbb{Z}$ et $\alpha \in [0,1[$ (division euclidienne). Alors $x = \mathrm{cl}(q) = \mathrm{cl}(n + \alpha) = \mathrm{cl}(\alpha)$ car $n \in \mathbb{Z}$. 7. Preuve d'unicité : Supposons $\mathrm{cl}(\alpha) = \mathrm{cl}(\beta)$ avec $\alpha, \beta \in [0,1[$. Alors $\alpha - \beta \in \mathbb{Z}$. Comme $\alpha, \beta \in [0,1[$, la seule possibilité est $\alpha = \beta$. 8. Troisième question (a) : Montrer que tout élément $x$ de $G$ est d'ordre fini. 9. Soit $x = \mathrm{cl}(\frac{p}{q})$ avec $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux. Alors $q \cdot \frac{p}{q} = p \in \mathbb{Z}$. Donc l'ordre de $x$ divise $q$, donc est fini. 10. Troisième question (b) : $G$ est-il d'ordre fini ? Non, car il contient des éléments d'ordre arbitrairement grand (par exemple $\mathrm{cl}(\frac{1}{n})$ d'ordre $n$ pour tout $n$). Donc $G$ est infini. Réponse finale : - $\mathrm{cl}(\frac{35}{6}) = \mathrm{cl}(\frac{5}{6})$. - L'ordre de $\mathrm{cl}(\frac{35}{6})$ est $6$. - Pour tout $x \in G$, il existe un unique $\alpha \in \mathbb{Q} \cap [0,1[$ tel que $x = \mathrm{cl}(\alpha)$. - Tout élément de $G$ est d'ordre fini. - $G$ n'est pas d'ordre fini.