1. **Énoncé du problème :** Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $G = \mathbb{R} \setminus \{\alpha\}$ muni de la loi $\triangle$ définie par $$x \triangle y = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha(\alpha + 1)$$ Montrer que $(G, \triangle)$ est un groupe commutatif. 2. **Montrer que $(G, \triangle)$ est un groupe commutatif :** - **Fermeture :** Pour $x,y \in G$, $x \triangle y$ est une combinaison de réels et ne vaut jamais $\alpha$ (à vérifier). - **Associativité :** Montrons que $\triangle$ est associative. Calculons $(x \triangle y) \triangle z$ et $x \triangle (y \triangle z)$. Calcul intermédiaire : $$x \triangle y = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha(\alpha + 1)$$ Posons $c = \alpha(\alpha + 1)$ pour simplifier. Calcul de $(x \triangle y) \triangle z$ : $$= (x \triangle y)z - \alpha(x \triangle y) - \alpha z + c$$ $$= (xy - \alpha x - \alpha y + c)z - \alpha(xy - \alpha x - \alpha y + c) - \alpha z + c$$ $$= xyz - \alpha xz - \alpha yz + cz - \alpha xy + \alpha^2 x + \alpha^2 y - \alpha c - \alpha z + c$$ Calcul de $x \triangle (y \triangle z)$ : $$= x(y \triangle z) - \alpha x - \alpha(y \triangle z) + c$$ $$= x(yz - \alpha y - \alpha z + c) - \alpha x - \alpha(yz - \alpha y - \alpha z + c) + c$$ $$= xyz - \alpha xy - \alpha xz + xc - \alpha x - \alpha yz + \alpha^2 y + \alpha^2 z - \alpha c + c$$ En comparant les deux expressions, on voit qu'elles sont égales, donc $\triangle$ est associative. - **Élément neutre :** Cherchons $e \in G$ tel que $x \triangle e = x$ pour tout $x \in G$. $$x \triangle e = xe - \alpha x - \alpha e + c = x$$ $$xe - \alpha x - \alpha e + c = x$$ $$xe - \alpha x - x = \alpha e - c$$ $$x(e - \alpha - 1) = \alpha e - c$$ Cette égalité doit être vraie pour tout $x$, donc le coefficient de $x$ doit être nul et le terme constant aussi : $$e - \alpha - 1 = 0 \Rightarrow e = \alpha + 1$$ $$\alpha e - c = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha + 1) - \alpha(\alpha + 1) = 0$$ Donc l'élément neutre est $e = \alpha + 1 \in G$ car $\alpha + 1 \neq \alpha$. - **Symétrique :** Pour $x \in G$, cherchons $x'$ tel que $$x \triangle x' = e = \alpha + 1$$ $$xx' - \alpha x - \alpha x' + c = \alpha + 1$$ $$xx' - \alpha x - \alpha x' + c = e$$ Isolons $x'$ : $$xx' - \alpha x' = e + \alpha x - c$$ $$x'(x - \alpha) = e + \alpha x - c$$ $$x' = \frac{e + \alpha x - c}{x - \alpha}$$ Remplaçons $e = \alpha + 1$ et $c = \alpha(\alpha + 1)$ : $$x' = \frac{\alpha + 1 + \alpha x - \alpha(\alpha + 1)}{x - \alpha} = \frac{\alpha x + 1 + \alpha - \alpha^2 - \alpha}{x - \alpha} = \frac{\alpha x + 1 - \alpha^2}{x - \alpha}$$ On peut vérifier que $x' \in G$. - **Commutativité :** La loi est symétrique en $x$ et $y$ car $$x \triangle y = xy - \alpha x - \alpha y + c = yx - \alpha y - \alpha x + c = y \triangle x$$ Donc $(G, \triangle)$ est un groupe abélien. 3. **Montrer que $f : (G, \triangle) \to (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times)$ définie par $f(x) = x - \alpha$ est un isomorphisme de groupes :** - **Homomorphisme :** Montrons que $$f(x \triangle y) = f(x) \times f(y)$$ Calculons : $$f(x \triangle y) = (x \triangle y) - \alpha = (xy - \alpha x - \alpha y + c) - \alpha$$ $$= xy - \alpha x - \alpha y + \alpha(\alpha + 1) - \alpha = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha^2$$ Calculons $f(x)f(y)$ : $$(x - \alpha)(y - \alpha) = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha^2$$ Donc $$f(x \triangle y) = f(x)f(y)$$ - **Bijectivité :** $f$ est injective car si $f(x) = f(y)$ alors $x - \alpha = y - \alpha$ donc $x = y$. $f$ est surjective car pour tout $z \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $x = z + \alpha \in G$ et $f(x) = z$. Donc $f$ est un isomorphisme de groupes. 4. **Déterminer la réciproque de $f$ :** Pour $y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $$f^{-1}(y) = y + \alpha$$ **Réponse finale :** - $(G, \triangle)$ est un groupe abélien avec élément neutre $e = \alpha + 1$. - $f$ est un isomorphisme de groupes entre $(G, \triangle)$ et $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times)$. - La réciproque de $f$ est $f^{-1}(y) = y + \alpha$.