1. **Énoncé du problème :** Montrer que $(G, \Delta)$ est un groupe commutatif où $G = \mathbb{R} \setminus \{\alpha\}$ et la loi $\Delta$ est définie par $$x \Delta y = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha(\alpha + 1)$$ 2. **Montrer que $(G, \Delta)$ est un groupe :** - **Fermeture :** Pour $x,y \in G$, $x \Delta y$ est une combinaison de réels, donc dans $\mathbb{R}$. Il faut vérifier que $x \Delta y \neq \alpha$ pour que $x \Delta y \in G$. - **Élément neutre $e$ :** Cherchons $e$ tel que $x \Delta e = x$ pour tout $x \in G$. $$x \Delta e = xe - \alpha x - \alpha e + \alpha(\alpha + 1) = x$$ Réarrangeons : $$xe - \alpha x - \alpha e + \alpha(\alpha + 1) = x$$ $$x(e - \alpha) - \alpha e + \alpha(\alpha + 1) = x$$ $$x(e - \alpha - 1) = \alpha e - \alpha(\alpha + 1)$$ Pour que cela soit vrai pour tout $x$, le coefficient de $x$ doit être nul : $$e - \alpha - 1 = 0 \Rightarrow e = \alpha + 1$$ Alors le membre de droite est : $$\alpha e - \alpha(\alpha + 1) = \alpha(\alpha + 1) - \alpha(\alpha + 1) = 0$$ Donc $e = \alpha + 1$ est l'élément neutre. - **Symétrique :** Pour $x \in G$, cherchons $x'$ tel que $$x \Delta x' = e = \alpha + 1$$ Calculons : $$x x' - \alpha x - \alpha x' + \alpha(\alpha + 1) = \alpha + 1$$ Réarrangeons : $$x x' - \alpha x' = \alpha + 1 + \alpha x - \alpha(\alpha + 1)$$ $$x' (x - \alpha) = \alpha + 1 + \alpha x - \alpha(\alpha + 1)$$ Simplifions le membre de droite : $$\alpha + 1 - \alpha(\alpha + 1) = \alpha + 1 - \alpha^2 - \alpha = 1 - \alpha^2$$ Donc : $$x' (x - \alpha) = 1 - \alpha^2 + \alpha x$$ Isolons $x'$ : $$x' = \frac{1 - \alpha^2 + \alpha x}{x - \alpha}$$ On vérifie que $x' \neq \alpha$ car sinon dénominateur nul. - **Associativité :** La loi $\Delta$ est associative car elle est isomorphe à la multiplication usuelle (voir question 2). - **Commutativité :** Clair par symétrie de $x \Delta y$ en $x$ et $y$. 3. **Montrer que $f : (G, \Delta) \to (\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times)$ définie par $f(x) = x - \alpha$ est un isomorphisme :** - **Homomorphisme :** Montrons que $$f(x \Delta y) = f(x) \times f(y)$$ Calculons : $$f(x \Delta y) = (x \Delta y) - \alpha = (xy - \alpha x - \alpha y + \alpha(\alpha + 1)) - \alpha$$ $$= xy - \alpha x - \alpha y + \alpha^2 + \alpha - \alpha = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha^2$$ Calculons $f(x) f(y)$ : $$(x - \alpha)(y - \alpha) = xy - \alpha x - \alpha y + \alpha^2$$ Donc $$f(x \Delta y) = f(x) f(y)$$ - **Bijectivité :** $f$ est injective car $f(x) = f(y) \Rightarrow x - \alpha = y - \alpha \Rightarrow x = y$. $f$ est surjective car pour tout $z \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $x = z + \alpha \in G$ et $f(x) = z$. Donc $f$ est un isomorphisme de groupes. 4. **Déterminer la réciproque de $f$ :** Pour $y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $$f^{-1}(y) = y + \alpha$$ **Réponse finale :** - $(G, \Delta)$ est un groupe commutatif avec élément neutre $e = \alpha + 1$. - $f$ est un isomorphisme de groupes entre $(G, \Delta)$ et $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times)$. - La réciproque de $f$ est $f^{-1}(y) = y + \alpha$.