1. Énoncé du problème : Montrer que les expressions $(x - 2)(x - 4)$ et $(x - 3)^2 - 1$ sont égales à $f(x) = x^2 - 6x + 8$ pour tout réel $x$. 2. Montrons que $(x - 2)(x - 4)$ est égale à $f(x)$ : $$ (x - 2)(x - 4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8 = f(x) $$ 3. Montrons que $(x - 3)^2 - 1$ est égale à $f(x)$ : $$ (x - 3)^2 - 1 = (x^2 - 6x + 9) - 1 = x^2 - 6x + 8 = f(x) $$ 4. Répondons aux questions en choisissant la forme adaptée : a. Calculer $f(1)$ : Utilisons la forme développée pour un calcul direct : $$ f(1) = 1^2 - 6 \times 1 + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 $$ b. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ : Utilisons la forme factorisée $(x - 2)(x - 4) = 0$ : $$ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $$ $$ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 $$ c. Déterminer les antécédents de 8 par la fonction $f$ : On cherche $x$ tel que $f(x) = 8$. Utilisons la forme développée : $$ x^2 - 6x + 8 = 8 \Rightarrow x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x - 6) = 0 $$ Donc : $$ x = 0 \text{ ou } x = 6 $$ d. Déterminer les nombres ayant pour image 3 par la fonction $f$ : On cherche $x$ tel que $f(x) = 3$. Utilisons la forme canonique $(x - 3)^2 - 1 = 3$ : $$ (x - 3)^2 - 1 = 3 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 $$ $$ x - 3 = \pm 2 $$ Donc : $$ x = 3 + 2 = 5 \text{ ou } x = 3 - 2 = 1 $$ Réponses finales : - $f(1) = 3$ - Solutions de $f(x) = 0$ sont $x = 2$ et $x = 4$ - Antécédents de 8 sont $x = 0$ et $x = 6$ - Nombres ayant pour image 3 sont $x = 1$ et $x = 5$