1. Énoncé du problème : Nous avons deux matrices $A$ et $B$ données par $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2\end{pmatrix}$$ On doit écrire l'expression de la forme bilinéaire associée à chacune de ces matrices, puis déterminer lesquelles sont symétriques. 2. Formule utilisée : La forme bilinéaire associée à une matrice $M$ est définie par $$f_M(x,y) = x^T M y$$ avec $x,y \in \mathbb{R}^3$ vecteurs colonnes. 3. Expression des formes bilinéaires : Soient $x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{pmatrix}$. Pour $A$ : $$f_A(x,y) = x^T A y = \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{pmatrix}$$ Calculons $A y$ : $$A y = \begin{pmatrix}1 \cdot y_1 + 0 \cdot y_2 + 0 \cdot y_3 \\ 0 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2 + 1 \cdot y_3 \\ 1 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2 + 2 \cdot y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 + y_3 \\ y_1 + y_2 + 2 y_3\end{pmatrix}$$ Donc $$f_A(x,y) = x_1 y_1 + x_2 (y_2 + y_3) + x_3 (y_1 + y_2 + 2 y_3)$$ Pour $B$ : $$f_B(x,y) = x^T B y = \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{pmatrix}$$ Calculons $B y$ : $$B y = \begin{pmatrix}1 \cdot y_1 + 0 \cdot y_2 + 4 \cdot y_3 \\ 0 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2 + 1 \cdot y_3 \\ 4 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2 + 2 \cdot y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_1 + 4 y_3 \\ y_2 + y_3 \\ 4 y_1 + y_2 + 2 y_3\end{pmatrix}$$ Donc $$f_B(x,y) = x_1 (y_1 + 4 y_3) + x_2 (y_2 + y_3) + x_3 (4 y_1 + y_2 + 2 y_3)$$ 4. Vérification de la symétrie : Une matrice $M$ est symétrique si $M = M^T$. Calculons $A^T$ : $$A^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$$ On remarque que $A \neq A^T$ car par exemple $A_{13} = 0$ alors que $A^T_{13} = 1$. Donc $A$ n'est pas symétrique. Calculons $B^T$ : $$B^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 2\end{pmatrix}$$ Ici $B = B^T$, donc $B$ est symétrique. 5. Conclusion : - La forme bilinéaire associée à $A$ est $$f_A(x,y) = x_1 y_1 + x_2 (y_2 + y_3) + x_3 (y_1 + y_2 + 2 y_3)$$ - La forme bilinéaire associée à $B$ est $$f_B(x,y) = x_1 (y_1 + 4 y_3) + x_2 (y_2 + y_3) + x_3 (4 y_1 + y_2 + 2 y_3)$$ - La matrice $A$ n'est pas symétrique. - La matrice $B$ est symétrique.