1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = (3x - 1)^2 - 9.$$ Nous allons développer, réduire, factoriser cette fonction, puis répondre à plusieurs questions en utilisant les différentes formes de $f(x)$. 2. **Développement et réduction de $f(x)$ :** Formule utilisée : $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$ Ici, $a = 3x$ et $b = 1$. Calcul : $$f(x) = (3x - 1)^2 - 9 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + 1^2 - 9 = 9x^2 - 6x + 1 - 9 = 9x^2 - 6x - 8.$$ Donc, la forme développée et réduite est $$f(x) = 9x^2 - 6x - 8.$$ 3. **Factorisation de $f(x)$ :** On part de la forme initiale : $$f(x) = (3x - 1)^2 - 9.$$ C'est une différence de carrés : $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b),$$ avec $a = 3x - 1$ et $b = 3$. Donc : $$f(x) = [(3x - 1) - 3][(3x - 1) + 3] = (3x - 4)(3x + 2).$$ 4. **Réponses aux questions :** a. **Déterminer l'image de $-2$ par $f$ :** On calcule $f(-2)$ en utilisant la forme développée (plus simple pour évaluer) : $$f(-2) = 9(-2)^2 - 6(-2) - 8 = 9 \times 4 + 12 - 8 = 36 + 12 - 8 = 40.$$ b. **Déterminer les éventuels antécédents de $-9$ par $f$ :** On cherche $x$ tel que $f(x) = -9$. Utilisons la forme initiale : $$f(x) = (3x - 1)^2 - 9 = -9 \Rightarrow (3x - 1)^2 = 0 \Rightarrow 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}.$$ Donc, l'unique antécédent de $-9$ est $x = \frac{1}{3}$. c. **Déterminer l'ordonnée du point d'abscisse $3$ :** On calcule $f(3)$ avec la forme développée : $$f(3) = 9 \times 3^2 - 6 \times 3 - 8 = 9 \times 9 - 18 - 8 = 81 - 18 - 8 = 55.$$ L'ordonnée est donc $55$. d. **Déterminer les abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses :** On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$. Utilisons la forme factorisée : $$(3x - 4)(3x + 2) = 0 \Rightarrow 3x - 4 = 0 \text{ ou } 3x + 2 = 0.$$ Résolution : $$x = \frac{4}{3} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{2}{3}.$$ Donc, les points d'intersection ont pour abscisses $\frac{4}{3}$ et $-\frac{2}{3}$. e. **Justifier que pour tout réel $x$, on a $f(x) \geq -9$ :** La forme initiale est $$f(x) = (3x - 1)^2 - 9.$$ Le carré $(3x - 1)^2$ est toujours positif ou nul, donc $$(3x - 1)^2 \geq 0 \Rightarrow (3x - 1)^2 - 9 \geq -9.$$ Ainsi, $$f(x) \geq -9$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. f. **Résoudre l'équation $f(x) = 7$ :** On utilise la forme développée : $$9x^2 - 6x - 8 = 7 \Rightarrow 9x^2 - 6x - 15 = 0.$$ On résout cette équation quadratique avec $a=9$, $b=-6$, $c=-15$. Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 9 \times (-15) = 36 + 540 = 576.$$ Racines : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm 24}{18}.$$ Donc : $$x_1 = \frac{6 - 24}{18} = \frac{-18}{18} = -1,$$ $$x_2 = \frac{6 + 24}{18} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}.$$ **Réponses finales :** - $f(-2) = 40$ - Antécédent de $-9$ : $x = \frac{1}{3}$ - Ordonnée en $x=3$ : $55$ - Intersections avec l'axe des abscisses : $x = \frac{4}{3}$ et $x = -\frac{2}{3}$ - $f(x) \geq -9$ pour tout $x$ - Solutions de $f(x) = 7$ : $x = -1$ et $x = \frac{5}{3}$