1. **Énoncé du problème :** Déterminer la règle des fonctions quadratiques représentées par les points donnés. 2. **Données :** - Pour la fonction $f(x)$, les points sont $(1, 3)$ et $(2, 12)$. - Pour la fonction $g(x)$, les points sont $(2, -2)$ et $(4, -8)$. 3. **Formule générale d'une fonction quadratique :** $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ 4. **Méthode :** Nous allons utiliser les points donnés pour trouver les coefficients $a$, $b$, et $c$. 5. **Pour $f(x)$ :** - On a $f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3$ - On a $f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 12$ 6. **Système d'équations :** $$\begin{cases} a + b + c = 3 \\ 4a + 2b + c = 12 \end{cases}$$ 7. **Pour résoudre ce système, il faut une troisième équation.** Comme il n'y a que deux points, on suppose que $c=0$ (fonction passant par l'origine) ou on peut chercher une autre hypothèse. 8. **Supposons $c=0$ pour simplifier :** - $a + b = 3$ - $4a + 2b = 12$ 9. **Résolvons :** - Multiplions la première équation par 2 : $2a + 2b = 6$ - Soustrayons de la deuxième : $(4a + 2b) - (2a + 2b) = 12 - 6$ - $2a = 6 \\ a = 3$ 10. **Trouvons $b$ :** - $a + b = 3 \\ 3 + b = 3 \\ b = 0$ 11. **Donc, la fonction $f(x)$ est :** $$f(x) = 3x^2$$ 12. **Pour $g(x)$ :** - $g(2) = 4a + 2b + c = -2$ - $g(4) = 16a + 4b + c = -8$ 13. **Supposons aussi $c=0$ pour $g(x)$ :** - $4a + 2b = -2$ - $16a + 4b = -8$ 14. **Résolvons :** - Multiplions la première équation par 2 : $8a + 4b = -4$ - Soustrayons de la deuxième : $(16a + 4b) - (8a + 4b) = -8 - (-4)$ - $8a = -4 \\ a = -\frac{1}{2}$ 15. **Trouvons $b$ :** - $4a + 2b = -2 \\ 4(-\frac{1}{2}) + 2b = -2 \\ -2 + 2b = -2 \\ 2b = 0 \\ b = 0$ 16. **Donc, la fonction $g(x)$ est :** $$g(x) = -\frac{1}{2}x^2$$ **Réponse finale :** - $f(x) = 3x^2$ - $g(x) = -\frac{1}{2}x^2$