1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions numériques : - $f(x) = -2x^2 + 4x$ - $g(x) = \frac{x}{x-1}$ Nous devons : 1) a. Déterminer la nature de la courbe $(C_f)$ de $f$. b. Donner le tableau de variations de $f$. c. Construire $(C_f)$. 2) a. Donner le domaine de définition $D_g$. b. Déterminer la nature de la courbe $(C_g)$ de $g$. c. Donner le tableau de variations de $g$. d. Construire $(C_g)$ dans le même repère. 3) Résoudre graphiquement dans $D_g$ : - $\frac{x}{x-1} = -2x^2 + 4x$ - $\frac{x}{x-1} \leq -2x^2 + 4x$ --- 2. **Étude de la fonction $f$ :** 1) a. Nature de $(C_f)$ : $f$ est une fonction polynomiale du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a = -2 \neq 0$, donc $(C_f)$ est une parabole. b. Tableau de variations de $f$ : - Calcul du sommet $\Omega$ : $$x_\Omega = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$$ - Calcul de $f(x_\Omega)$ : $$f(1) = -2 \times 1^2 + 4 \times 1 = -2 + 4 = 2$$ - Comme $a = -2 < 0$, la parabole est tournée vers le bas, donc $f$ est croissante sur $(-\infty, 1]$ et décroissante sur $[1, +\infty)$. Tableau de variations : $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 1 & +\infty \\ f(x) & \nearrow & 2 & \searrow \\ \end{array}$$ c. Construction de $(C_f)$ : - Parabole tournée vers le bas avec sommet en $(1, 2)$. 3. **Étude de la fonction $g$ :** 2) a. Domaine de définition $D_g$ : - $g(x) = \frac{x}{x-1}$ est définie pour $x \neq 1$. Donc : $$D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ b. Nature de $(C_g)$ : - $g$ est une fonction homographique de la forme $\frac{ax + b}{cx + d}$ avec $a=1$, $b=0$, $c=1$, $d=-1$. - Le déterminant est : $$ad - bc = 1 \times (-1) - 0 \times 1 = -1 < 0$$ Donc $(C_g)$ est une hyperbole avec : - Centre $\Omega = \left(-\frac{d}{c}, -\frac{a}{c}\right) = \left(-\frac{-1}{1}, -\frac{1}{1}\right) = (1, -1)$ - Asymptotes : - verticale : $x = 1$ - horizontale : $y = -1$ c. Tableau de variations de $g$ : - Pour $x < 1$, $g$ est décroissante. - Pour $x > 1$, $g$ est décroissante. Tableau de variations : $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & 1 & +\infty \\ g(x) & \searrow & \text{discontinu} & \searrow \\ \end{array}$$ 4. **Construction de $(C_g)$ dans le même repère :** - Tracer l'hyperbole avec centre en $(1, -1)$ et asymptotes $x=1$ et $y=-1$. 5. **Résolution graphique dans $D_g$ :** 3) a. Résoudre $\frac{x}{x-1} = -2x^2 + 4x$ graphiquement : - Trouver les points d'intersection entre $(C_f)$ et $(C_g)$. b. Résoudre $\frac{x}{x-1} \leq -2x^2 + 4x$ graphiquement : - Trouver les intervalles où la courbe de $g$ est en dessous ou égale à celle de $f$. --- **Résumé final :** - $(C_f)$ est une parabole tournée vers le bas avec sommet en $(1, 2)$. - $(C_g)$ est une hyperbole avec centre en $(1, -1)$, asymptotes $x=1$ et $y=-1$. - Domaine de $g$ : $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. - Variations de $f$ : croissante puis décroissante avec maximum $2$. - Variations de $g$ : décroissante sur chaque intervalle de son domaine.