1. Énoncé du problème : Trouver l'expression et analyser la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{|x| + 1}{x^2} + 1.$$\n\n2. Formule et règles importantes : Ici, $|x|$ représente la valeur absolue de $x$, $x^2$ est le carré de $x$. La fonction est définie pour $x \neq 0$ car le dénominateur ne peut pas être nul.\n\n3. Travail intermédiaire : On peut écrire la fonction comme $$f(x) = \frac{|x| + 1}{x^2} + 1 = \frac{|x| + 1}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} = \frac{|x| + 1 + x^2}{x^2}.$$\n\n4. Analyse : Pour $x > 0$, $|x| = x$, donc $$f(x) = \frac{x + 1 + x^2}{x^2} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2} = 1 + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}.$$\nPour $x < 0$, $|x| = -x$, donc $$f(x) = \frac{-x + 1 + x^2}{x^2} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}.$$\n\n5. Conclusion : La fonction $f$ est définie par morceaux selon le signe de $x$ :\n$$f(x) = \begin{cases} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}, & x > 0 \\ 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}, & x < 0 \end{cases}$$\navec $x \neq 0$.