1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x) = \frac{2x - 5}{3 - x}.$$ 2. **Déterminer le domaine $D(f)$ :** Le domaine d'une fonction rationnelle est l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur est non nul. Ici, le dénominateur est $3 - x$. On impose donc : $$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3.$$ Ainsi, $$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\}.$$ 3. **Calculer $f(x)$ pour $x = 0, 2, 4$ :** - Pour $x=0$ : $$f(0) = \frac{2 \times 0 - 5}{3 - 0} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}.$$ - Pour $x=2$ : $$f(2) = \frac{2 \times 2 - 5}{3 - 2} = \frac{4 - 5}{1} = -1.$$ - Pour $x=4$ : $$f(4) = \frac{2 \times 4 - 5}{3 - 4} = \frac{8 - 5}{-1} = \frac{3}{-1} = -3.$$ 4. **Calculer l'antécédent de $-1$ par $f$ :** On cherche $x$ tel que $$f(x) = -1,$$ soit $$\frac{2x - 5}{3 - x} = -1.$$ On multiplie les deux membres par $3 - x$ (en supposant $x \neq 3$) : $$2x - 5 = -1 \times (3 - x) = -3 + x.$$ On regroupe les termes : $$2x - 5 = -3 + x \implies 2x - x = -3 + 5 \implies x = 2.$$ Vérification : $x=2$ est dans le domaine, donc c'est la solution. **Réponses finales :** - $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ - $f(0) = -\frac{5}{3}$ - $f(2) = -1$ - $f(4) = -3$ - L'antécédent de $-1$ est $x=2$.