1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ définie sur $[2; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x - 2} + 3$. On définit l'expression $A = f(4 + h) - f(4)$. 2. a) Justification que pour $h = -3$, $A$ n'est pas définie : - Calculons $4 + h$ pour $h = -3$ : $4 + (-3) = 1$. - Or, $f$ est définie seulement pour $x \geq 2$. - Ici, $1 < 2$, donc $f(1)$ n'est pas définie. - Par conséquent, $A = f(1) - f(4)$ n'est pas définie. 3. b) Justification que pour $h \in [-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$, $A$ est définie : - Pour $h$ dans cet intervalle, calculons $4 + h$ : - La borne inférieure : $4 - \frac{3}{2} = 4 - 1.5 = 2.5 \geq 2$. - La borne supérieure : $4 + \frac{3}{2} = 5.5 \geq 2$. - Donc, pour tout $h$ dans $[-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$, $4 + h \geq 2$. - Ainsi, $f(4 + h)$ est définie et $A$ est définie. 4. 2) Établir l'égalité $A = \frac{h}{\sqrt{h + 2} + \sqrt{2}}$ pour $h \in [-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$ : - Rappel : $A = f(4 + h) - f(4) = \sqrt{(4 + h) - 2} + 3 - (\sqrt{4 - 2} + 3)$. - Simplifions : $A = \sqrt{2 + h} + 3 - (\sqrt{2} + 3) = \sqrt{2 + h} - \sqrt{2}$. - Pour simplifier $\sqrt{2 + h} - \sqrt{2}$, on multiplie par le conjugué : $$ A = \frac{(\sqrt{2 + h} - \sqrt{2})(\sqrt{2 + h} + \sqrt{2})}{\sqrt{2 + h} + \sqrt{2}} = \frac{(2 + h) - 2}{\sqrt{2 + h} + \sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2 + h} + \sqrt{2}}. $$ - Cette égalité est valable pour $h$ tel que $2 + h \geq 0$, ce qui est vrai pour $h \in [-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$. Réponse finale : $$ A = \frac{h}{\sqrt{h + 2} + \sqrt{2}}. $$