1. Énonçons le problème : Trouver la règle d'une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ qui passe par le point $(5,14)$ et dont les racines (abscisses à l'origine) sont $-4$ et $12$. 2. Rappel : Si une fonction quadratique a des racines $r_1$ et $r_2$, elle peut s'écrire sous la forme factorisée $$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$$ où $a$ est un coefficient réel. 3. Ici, les racines sont $r_1 = -4$ et $r_2 = 12$, donc $$f(x) = a(x + 4)(x - 12)$$ 4. Utilisons le point donné $(5,14)$ pour déterminer $a$ : $$f(5) = a(5 + 4)(5 - 12) = 14$$ $$a \times 9 \times (-7) = 14$$ $$-63a = 14$$ $$a = -\frac{14}{63} = -\frac{2}{9}$$ 5. La fonction est donc $$f(x) = -\frac{2}{9}(x + 4)(x - 12)$$ 6. Développons pour obtenir la forme standard : $$(x + 4)(x - 12) = x^2 - 12x + 4x - 48 = x^2 - 8x - 48$$ 7. Multiplions par $a$ : $$f(x) = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{16}{9}x + \frac{96}{9}$$ 8. Simplifions la constante : $$\frac{96}{9} = \frac{32}{3}$$ 9. La règle finale de la fonction est $$f(x) = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{16}{9}x + \frac{32}{3}$$