1. Énonçons le problème : Étudier une fonction donnée, déterminer ses caractéristiques principales comme les points d'interception, les extrema, et la forme générale. 2. Formule et règles importantes : Pour une fonction $f(x)$, on calcule la dérivée $f'(x)$ pour trouver les extrema (maximums et minimums locaux) en résolvant $f'(x)=0$. 3. Exemple : Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$. 4. Calculons la dérivée : $$f'(x) = 2x - 4$$ 5. Trouvons les extrema en résolvant $2x - 4 = 0$ : $$2x = 4 \Rightarrow x = 2$$ 6. Calculons la valeur de la fonction en $x=2$ : $$f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ 7. Le point $(2, -1)$ est un minimum local. 8. Trouvons les points d'interception avec l'axe des abscisses en résolvant $f(x) = 0$ : $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ 9. Factorisons : $$(x - 1)(x - 3) = 0$$ 10. Les racines sont $x=1$ et $x=3$, donc les points d'interception sont $(1,0)$ et $(3,0)$. 11. En résumé, la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ a un minimum local en $(2, -1)$ et coupe l'axe des abscisses en $(1,0)$ et $(3,0)$. 12. Cette étude permet de comprendre la forme de la parabole et ses points clés.