1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = (3x - 2)^2 - 49.$$ Nous devons trouver la forme développée et factorisée de $f(x)$, puis répondre à plusieurs questions en utilisant la forme la plus adaptée. 2. **Formule et règles importantes :** - Pour développer un carré, on utilise $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$$ - Pour factoriser une différence de carrés, on utilise $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$$ 3. **Développement de $f(x)$ :** $$f(x) = (3x - 2)^2 - 49 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 - 49 = 9x^2 - 12x + 4 - 49 = 9x^2 - 12x - 45.$$ 4. **Factorisation de $f(x)$ :** On remarque que $f(x) = (3x - 2)^2 - 7^2$ est une différence de carrés, donc $$f(x) = (3x - 2 - 7)(3x - 2 + 7) = (3x - 9)(3x + 5).$$ On peut aussi factoriser par 3 dans le premier facteur : $$f(x) = 3(x - 3)(3x + 5).$$ 5. **Réponses aux questions :** **a. Image de $\frac{2}{3}$ par $f$ :** Utilisons la forme développée pour calculer facilement : $$f\left(\frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 12\left(\frac{2}{3}\right) - 45 = 9 \times \frac{4}{9} - 8 - 45 = 4 - 8 - 45 = -49.$$ **b. Coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées :** L'axe des ordonnées correspond à $x=0$, donc $$f(0) = 9 \times 0^2 - 12 \times 0 - 45 = -45.$$ Le point d'intersection est donc $(0, -45)$. **c. Antécédents de 0 par $f$ :** On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$. Utilisons la forme factorisée : $$f(x) = (3x - 9)(3x + 5) = 0.$$ Donc $$3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3,$$ $$3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}.$$ Les antécédents de 0 sont donc $x = 3$ et $x = -\frac{5}{3}$. **d. Le point $A(4; 51)$ appartient-il à la courbe ?** Calculons $f(4)$ : $$f(4) = 9 \times 4^2 - 12 \times 4 - 45 = 9 \times 16 - 48 - 45 = 144 - 48 - 45 = 51.$$ Comme $f(4) = 51$, le point $A$ appartient bien à la courbe. **e. Abscisses des points d'ordonnée 15 :** On cherche $x$ tel que $f(x) = 15$. $$9x^2 - 12x - 45 = 15 \Rightarrow 9x^2 - 12x - 60 = 0.$$ Divisons par 3 pour simplifier : $$3x^2 - 4x - 20 = 0.$$ Calcul du discriminant : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-20) = 16 + 240 = 256.$$ Racines : $$x = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{2 \times 3} = \frac{4 \pm 16}{6}.$$ Donc $$x_1 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3},$$ $$x_2 = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2.$$ Les abscisses sont donc $\frac{10}{3}$ et $-2$. **Réponse finale :** - Forme développée : $$f(x) = 9x^2 - 12x - 45.$$ - Forme factorisée : $$f(x) = (3x - 9)(3x + 5).$$ - Image de $\frac{2}{3}$ : $-49$. - Intersection avec l'axe des ordonnées : $(0, -45)$. - Antécédents de 0 : $3$ et $-\frac{5}{3}$. - Le point $A(4; 51)$ appartient à la courbe. - Abscisses pour $f(x) = 15$ : $\frac{10}{3}$ et $-2$.