1. Énoncé du problème : Nous avons deux fonctions définies par la partie entière. 2. Pour la fonction $g(x) = 3\left\lfloor \frac{1}{20}(x-5) \right\rfloor + 9$, nous cherchons l'intervalle où $g(x) = 0$. 3. Posons $n = \left\lfloor \frac{1}{20}(x-5) \right\rfloor$. Alors $g(x) = 3n + 9$. 4. Pour que $g(x) = 0$, il faut que $3n + 9 = 0 \Rightarrow n = -3$. 5. L'inégalité pour $n = -3$ est : $$-3 \leq \frac{1}{20}(x-5) < -2$$ 6. Multiplions par 20 : $$-60 \leq x - 5 < -40$$ 7. Ajoutons 5 : $$-55 \leq x < -35$$ 8. Cet intervalle ne correspond à aucune des options données, donc vérifions les options données : - a) [45, 65] - b) [65, 85] - c) ]45, 65] 9. Reprenons l'équation pour $g(x) = 0$ : $$3\left\lfloor \frac{1}{20}(x-5) \right\rfloor + 9 = 0 \Rightarrow \left\lfloor \frac{1}{20}(x-5) \right\rfloor = -3$$ 10. Calculons $\frac{1}{20}(x-5)$ pour $x$ dans [45, 65] : - Pour $x=45$, $\frac{1}{20}(45-5) = \frac{40}{20} = 2$ - Pour $x=65$, $\frac{1}{20}(65-5) = \frac{60}{20} = 3$ 11. Donc $\left\lfloor \frac{1}{20}(x-5) \right\rfloor$ vaut 2 ou 3 dans cet intervalle, pas -3. 12. Pour $x$ dans [65, 85] : - $\frac{1}{20}(65-5) = 3$ - $\frac{1}{20}(85-5) = 4$ 13. Donc $\left\lfloor \frac{1}{20}(x-5) \right\rfloor$ vaut 3 ou 4, pas -3. 14. Pour $x$ dans ]45, 65] : même résultat que pour [45, 65]. 15. Conclusion : aucune des options a), b), c) ne correspond à $g(x) = 0$. 16. Passons à la fonction $k(x) = a\left\lfloor -0,1(x+5) \right\rfloor - 10,5$. 17. On sait que $k(0) = -9$. 18. Calculons $k(0)$ : $$k(0) = a \left\lfloor -0,1(0+5) \right\rfloor - 10,5 = a \left\lfloor -0,5 \right\rfloor - 10,5$$ 19. $\left\lfloor -0,5 \right\rfloor = -1$, donc $$k(0) = a(-1) - 10,5 = -a - 10,5$$ 20. Égalons à -9 : $$-a - 10,5 = -9 \Rightarrow -a = 1,5 \Rightarrow a = -1,5$$ 21. Maintenant, pour résoudre $k(x) = 0$ : $$a \left\lfloor -0,1(x+5) \right\rfloor - 10,5 = 0$$ 22. Remplaçons $a$ par $-1,5$ : $$-1,5 \left\lfloor -0,1(x+5) \right\rfloor - 10,5 = 0$$ 23. Isolons la partie entière : $$-1,5 \left\lfloor -0,1(x+5) \right\rfloor = 10,5 \Rightarrow \left\lfloor -0,1(x+5) \right\rfloor = -7$$ 24. L'inégalité pour la partie entière est : $$-7 \leq -0,1(x+5) < -6$$ 25. Multiplions par -10 (en inversant les inégalités) : $$70 \geq x+5 > 60$$ 26. Soustrayons 5 : $$65 \geq x > 55$$ 27. Donc la solution est l'intervalle $]55, 65]$. **Réponses finales :** - Pour $g(x) = 0$, aucune des options données ne correspond. - Pour $k(x) = 0$, la solution est $x \in ]55, 65]$.