1. **Énoncé du problème :** On donne la fonction $$f(x) = \frac{-2x^2 + x - 3}{x + 2}$$. On sait que $$f(x)$$ peut s'écrire sous la forme $$f(x) = ax + b + \frac{c}{x + 2}$$ avec $$a,b,c \in \mathbb{R}$$. Nous devons trouver la valeur de $$a^2 + b^2 + c^2$$. 2. **Mise en forme de la fonction :** Pour écrire $$f(x)$$ sous la forme $$ax + b + \frac{c}{x+2}$$, effectuons la division polynomiale de $$-2x^2 + x - 3$$ par $$x + 2$$. 3. **Division polynomiale :** Divisons $$-2x^2 + x - 3$$ par $$x + 2$$ : - Premier terme du quotient : $$\frac{-2x^2}{x} = -2x$$. - Multiplier $$-2x$$ par $$x + 2$$ donne $$-2x^2 - 4x$$. - Soustraire du dividende : $$(-2x^2 + x - 3) - (-2x^2 -4x) = x + 4x - 3 = 5x - 3$$. - Deuxième terme du quotient : $$\frac{5x}{x} = 5$$. - Multiplier $$5$$ par $$x + 2$$ donne $$5x + 10$$. - Soustraire : $$(5x - 3) - (5x + 10) = -13$$. Le reste est donc $$-13$$. 4. **Résultat de la division :** On a $$$-2x^2 + x - 3 \div (x + 2) = -2x + 5 + \frac{-13}{x + 2} = -2x + 5 - \frac{13}{x + 2}.$$ $ Ainsi, $$a = -2, \quad b = 5, \quad c = -13.$$ 5. **Calcul de $$a^2 + b^2 + c^2$$ :** $$$a^2 + b^2 + c^2 = (-2)^2 + 5^2 + (-13)^2 = 4 + 25 + 169 = 198.$$ $ **Réponse finale :** $\boxed{198}$.