1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f : x \mapsto (x - 1)^2$. 2. **Déterminer l'ensemble de définition de $f$ :** La fonction $f(x) = (x - 1)^2$ est un polynôme, donc elle est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. 3. **Montrer que la droite $D : x = 1$ est un axe de symétrie pour la courbe $C$ :** Pour tout $x$, calculons $f(2 - x)$ : $$f(2 - x) = ((2 - x) - 1)^2 = (1 - x)^2 = (x - 1)^2 = f(x)$$ Cela montre que $f(2 - x) = f(x)$, donc la courbe est symétrique par rapport à la droite $x = 1$. 4. **Calculer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - 1)^2 = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x - 1)^2 = +\infty$$ Graphiquement, cela signifie que la parabole s'élève vers $+\infty$ aux deux extrémités. 5. **Dérivabilité et dérivée :** La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (pas seulement $\mathbb{R} \setminus \{0,2\}$) car c'est un polynôme. Calcul de la dérivée : $$f'(x) = 2(x - 1)$$ 6. **Tableau de variation :** - $f'(x) = 0$ pour $x = 1$. - Pour $x < 1$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. Le minimum de $f$ est atteint en $x = 1$ avec $f(1) = 0$. 7. **Résumé :** - Domaine : $\mathbb{R}$ - Symétrie axiale par rapport à $x=1$ - Limites infinies aux extrémités - Minimum en $x=1$ de valeur $0$