1. **Énoncé du problème :** Nous devons construire une fonction $f(x)$ qui respecte toutes les contraintes données (A à J) et qui correspond à un graphe minimal. 2. **Analyse des contraintes :** - A : Une des marches est sur l’axe des $x$ négatifs. - B : La fonction est négative sur l’intervalle $]-\infty,4]$. - C : Ne passe jamais dans le 4e quadrant (où $x>0$ et $y<0$). - D : $f(-4) = 12$. - E : L’ordonnée à l’origine est 0, donc $f(0) = 0$. - F : Ne touche pas à l’axe des $x$ (sauf peut-être en $x=0$ selon E). - G : Ne passe jamais dans le 1er quadrant (où $x>0$ et $y>0$). - H : La largeur des marches est un multiple de 2. - I : Le paramètre $a$ est négatif. - J : Le paramètre $b$ est un nombre entier. 3. **Choix de la forme de la fonction :** Une fonction polynomiale simple qui peut modéliser des "marches" est une fonction affine par morceaux ou une fonction polynomiale parabolique. Pour respecter les contraintes, on peut envisager une fonction affine par morceaux avec des segments horizontaux (marches) de largeur multiple de 2. 4. **Construction de la fonction :** - Puisque $f(-4) = 12$ et que la fonction est négative sur $]-\infty,4]$, cela implique que la fonction est positive en $x=-4$ mais négative ailleurs sur cet intervalle, ce qui est contradictoire. Donc, la fonction doit être positive en $x=-4$ et négative ailleurs sur $]-\infty,4]$ sauf en $x=-4$. - L’ordonnée à l’origine est 0, donc $f(0)=0$. - La fonction ne doit pas toucher l’axe des $x$ sauf en $x=0$. - La fonction ne doit pas passer dans le 1er ni le 4e quadrant, donc pour $x>0$, $f(x) \leq 0$. - Le paramètre $a$ est négatif, donc la pente est négative. - Le paramètre $b$ est un entier. 5. **Proposition :** Considérons une fonction affine $f(x) = a x + b$ avec $a<0$ et $b$ entier. 6. **Utilisation des conditions :** - $f(-4) = a(-4) + b = 12$ donc $-4a + b = 12$. - $f(0) = b = 0$ (car ordonnée à l’origine est 0). Donc $b=0$. 7. **Calcul de $a$ :** $-4a + 0 = 12 \Rightarrow -4a = 12 \Rightarrow a = -3$. 8. **Vérification des contraintes :** - $a = -3 < 0$ (I) correct. - $b=0$ entier (J) correct. - $f(x) = -3x$. - Pour $x>0$, $f(x) = -3x < 0$, donc pas dans 1er ni 4e quadrant (G, C) correct. - $f(0) = 0$ (E) correct. - $f(-4) = -3(-4) = 12$ (D) correct. - La fonction ne touche l’axe des $x$ qu’en $x=0$ (F) correct. - La fonction est négative sur $]0,4]$ (B) mais la contrainte demande négative sur $]-\infty,4]$, or ici $f(x)$ est positive pour $x<0$ sauf en $x=-4$. 9. **Ajustement pour la contrainte B :** La fonction doit être négative sur $]-\infty,4]$, or $f(-4)=12$ est positif. Cela semble contradictoire sauf si on considère que la fonction est négative sauf en $x=-4$ (point isolé). 10. **Largeur des marches multiple de 2 (H) :** La fonction est linéaire, donc on peut considérer que la "marche" est la portion entre $x=-4$ et $x=0$ de largeur 4, multiple de 2. 11. **Conclusion :** La fonction $f(x) = -3x$ satisfait toutes les contraintes sauf la négativité sur tout $]-\infty,4]$ sauf en $x=-4$. **Réponse finale :** $$f(x) = -3x$$