1. Énoncé du problème : Nous avons deux polynômes : Polynôme A : $20{,}25x^2 - 36{,}45x + 65{,}61$ Polynôme B : $13{,}69x^2 + 17{,}76x + 5{,}76$ Seul l'un d'eux est un trinomé carré parfait (TCP). Il faut identifier lequel et le factoriser. 2. Rappel : Un trinomé carré parfait a la forme $$a^2x^2 + 2abx + b^2 = (ax + b)^2$$ Pour vérifier si un polynôme est un TCP, on vérifie si le terme du milieu est égal à $2ab$ où $a^2$ est le coefficient de $x^2$ et $b^2$ est le terme constant. 3. Analyse du polynôme A : - $a^2 = 20{,}25$ donc $a = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5$ - $b^2 = 65{,}61$ donc $b = \sqrt{65{,}61} = 8{,}1$ - Calcul de $2ab = 2 \times 4{,}5 \times 8{,}1 = 72{,}9$ - Le terme du milieu est $-36{,}45$, qui n'est pas égal à $72{,}9$ ni à $-72{,}9$ (mais $-36{,}45$ est la moitié de $-72{,}9$), donc ce n'est pas un TCP. 4. Analyse du polynôme B : - $a^2 = 13{,}69$ donc $a = \sqrt{13{,}69} = 3{,}7$ - $b^2 = 5{,}76$ donc $b = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$ - Calcul de $2ab = 2 \times 3{,}7 \times 2{,}4 = 17{,}76$ - Le terme du milieu est $+17{,}76$, qui correspond exactement à $2ab$. 5. Conclusion : Le polynôme B est un trinomé carré parfait. 6. Factorisation : $$13{,}69x^2 + 17{,}76x + 5{,}76 = (3{,}7x + 2{,}4)^2$$ Réponse finale : Le polynôme B est un TCP. Sa forme factorisée est : $(3{,}7x + 2{,}4)^2$