1. Énoncé du problème : Factoriser les polynômes suivants dans $\mathbb{R}[X]$ et $\mathbb{C}[X]$ : $$A(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^3 - x^2 + 3x - 2$$ $$B(x) = x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 12x + 8$$ 2. Rappel des règles : - Pour factoriser un polynôme, on cherche d'abord les racines réelles (pour $\mathbb{R}[X]$) puis on peut factoriser en facteurs du premier degré ou du second degré irréductibles. - Dans $\mathbb{C}[X]$, tout polynôme se factorise en produit de facteurs du premier degré. 3. Factorisation de $B(x)$ : On cherche les racines réelles par la méthode du facteur commun ou racines évidentes. Tester $x=1$ : $$1 - 3 + 6 - 12 + 8 = 0$$ Donc $x=1$ est racine. Diviser $B(x)$ par $(x-1)$ : $$B(x) = (x-1)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8)$$ Tester $x=2$ dans le polynôme de degré 3 : $$8 - 8 + 8 - 8 = 0$$ Donc $x=2$ est racine. Diviser par $(x-2)$ : $$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = (x-2)(x^2 + 4)$$ Ainsi, $$B(x) = (x-1)(x-2)(x^2 + 4)$$ 4. Factorisation de $A(x)$ : Cherchons les racines évidentes en testant $x=1$ : $$1 - 3 + 2 - 1 + 3 - 2 = 0$$ Donc $x=1$ est racine. Diviser $A(x)$ par $(x-1)$ par division polynomiale ou Ruffini : $$A(x) = (x-1)(x^4 - 2x^3 + 0x^2 - 1x + 2)$$ On cherche à factoriser $x^4 - 2x^3 - x + 2$. Tester $x=1$ : $$1 - 2 - 1 + 2 = 0$$ Donc $x=1$ est encore racine. Diviser par $(x-1)$ : $$x^4 - 2x^3 - x + 2 = (x-1)(x^3 - x^2 - 1)$$ On obtient : $$A(x) = (x-1)^2 (x^3 - x^2 - 1)$$ Le polynôme $x^3 - x^2 - 1$ n'a pas de racines évidentes rationnelles (test de racines rationnelles). On peut chercher ses racines complexes ou factoriser numériquement, mais dans $\mathbb{R}[X]$ il reste irréductible. 5. Résultats finaux : - Dans $\mathbb{R}[X]$ : $$A(x) = (x-1)^2 (x^3 - x^2 - 1)$$ $$B(x) = (x-1)(x-2)(x^2 + 4)$$ - Dans $\mathbb{C}[X]$ : $B(x)$ est déjà factorisé en facteurs du premier degré et un facteur quadratique irréductible sur $\mathbb{R}$ mais factorisable en complexes : $$x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$$ Pour $A(x)$, on factorise $x^3 - x^2 - 1$ en racines complexes (approximatives) ou par formule de Cardan, ce qui donne trois racines complexes distinctes. Ainsi, $$A(x) = (x-1)^2 (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$$ avec $r_1, r_2, r_3$ racines complexes de $x^3 - x^2 - 1=0$.