1. Énoncé du problème : On doit factoriser les polynômes $A(x)$ et $B(x)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, puis déterminer le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) de $A(x)$ et $B(x)$. 2. Rappel des définitions : - La factorisation dans $\mathbb{C}$ consiste à écrire un polynôme comme un produit de facteurs irréductibles (de degré 1 en $\mathbb{C}$). - Le PGCD de deux polynômes est le polynôme de plus haut degré qui divise les deux. - Le PPCM est le polynôme de plus bas degré divisible par les deux. 3. Étapes générales : - Factoriser $A(x)$ en produit de facteurs linéaires dans $\mathbb{C}$. - Factoriser $B(x)$ de même. - Identifier les facteurs communs pour le PGCD. - Multiplier tous les facteurs en prenant le maximum des exposants pour le PPCM. 4. Exemple (supposons $A(x) = x^2 - 1$ et $B(x) = x^2 - 4$) : - $A(x) = (x-1)(x+1)$ - $B(x) = (x-2)(x+2)$ - PGCD$(A,B) = 1$ car pas de facteur commun. - PPCM$(A,B) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ 5. Conclusion : La factorisation dans $\mathbb{C}$ permet d'exprimer clairement les facteurs, et le PGCD et PPCM se déterminent à partir des facteurs communs et totaux respectivement.