1. **Énoncé du problème :** Factoriser l'expression $$A = x^2 - 13 + 13(x + \sqrt{13})$$. 2. **Réécriture de l'expression :** $$A = x^2 - 13 + 13x + 13\sqrt{13}$$ 3. **Regroupement des termes :** $$A = x^2 + 13x - 13 + 13\sqrt{13}$$ 4. **Simplification des termes constants :** $$-13 + 13\sqrt{13} = 13(\sqrt{13} - 1)$$ Donc, $$A = x^2 + 13x + 13(\sqrt{13} - 1)$$ 5. **Forme générale pour factoriser un trinôme :** Pour factoriser un trinôme de la forme $$x^2 + bx + c$$, on cherche deux nombres dont le produit est $$c$$ et la somme est $$b$$. 6. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = b^2 - 4c = 13^2 - 4 \times 13(\sqrt{13} - 1) = 169 - 52(\sqrt{13} - 1)$$ 7. **Simplification du discriminant :** $$\Delta = 169 - 52\sqrt{13} + 52 = 221 - 52\sqrt{13}$$ 8. **Factorisation avec les racines :** Les racines sont $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{221 - 52\sqrt{13}}}{2}$$ 9. **Conclusion :** L'expression factorisée est $$A = \left(x - \frac{-13 + \sqrt{221 - 52\sqrt{13}}}{2}\right)\left(x - \frac{-13 - \sqrt{221 - 52\sqrt{13}}}{2}\right)$$ Ceci est la forme factorisée exacte de l'expression donnée.