1. Énonçons le problème : Joanie affirme que pour tout réel $x > 1$, on a $$e^{\ln(x-1) + \ln(x)} = x^{2} - x.$$ Nous devons vérifier si cette égalité est vraie. 2. Rappelons une propriété importante des logarithmes : $$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$$ pour $a > 0$ et $b > 0$. 3. Appliquons cette propriété à l'expression de l'exposant : $$e^{\ln(x-1) + \ln(x)} = e^{\ln((x-1) \cdot x)} = e^{\ln(x(x-1))}.$$ 4. Puisque $e^{\ln(y)} = y$ pour tout $y > 0$, on a : $$e^{\ln(x(x-1))} = x(x-1) = x^{2} - x.$$ 5. Conclusion : L'égalité est vraie pour tout $x > 1$ car $x-1 > 0$ et $x > 0$ garantissent que les logarithmes sont définis. Joanie a donc raison.