1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation quadratique $$2x^2 + x - 3 = 0$$ dans $$\mathbb{R}$$. 2. **Formule utilisée :** Pour résoudre une équation quadratique $$ax^2 + bx + c = 0$$, on utilise la formule du discriminant $$\Delta = b^2 - 4ac$$. 3. **Calcul du discriminant :** $$a = 2, b = 1, c = -3$$ $$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 1 + 24 = 25$$ 4. **Calcul des racines :** $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ 5. **Factorisation du trinôme :** Le trinôme se factorise en : $$2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)(x + \frac{3}{2}) = (2x - 2)(x + \frac{3}{2})$$ Pour éviter les fractions, on écrit : $$2x^2 + x - 3 = (2x - 3)(x + 1)$$ 6. **Tableau de signes :** Les racines sont $$x = -1$$ et $$x = \frac{3}{2}$$. Le coefficient de $$x^2$$ est positif ($$a=2>0$$), donc le trinôme est positif en dehors des racines et négatif entre elles. | Intervalle | $$]-\infty, -1[$$ | $$-1$$ | $$]-1, \frac{3}{2}[$$ | $$\frac{3}{2}$$ | $$]\frac{3}{2}, +\infty[$$ | |------------|------------------|-------|---------------------|----------------|--------------------| | Signe | + | 0 | - | 0 | + | 7. **Solution de l'inéquation $$2x^2 + x - 3 > 0$$ :** $$x \in ]-\infty, -1[ \cup ]\frac{3}{2}, +\infty[$$ --- 8. **Système à résoudre :** $$\begin{cases} 5x + 7y = 3 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$$ 9. **Méthode de substitution :** De la deuxième équation : $$x = 4 + 2y$$ 10. **Substitution dans la première équation :** $$5(4 + 2y) + 7y = 3$$ $$20 + 10y + 7y = 3$$ $$17y = 3 - 20 = -17$$ $$y = -1$$ 11. **Calcul de $$x$$ :** $$x = 4 + 2(-1) = 4 - 2 = 2$$ 12. **Solution du système :** $$\boxed{(x, y) = (2, -1)}$$