1. **Énoncé du problème** : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + x - 6$. **a) Résoudre l'équation $f(x) = 0$** 1. Écrire l'équation : $$x^2 + x - 6 = 0$$ 2. Calculer le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25$$ 3. Trouver les racines : $$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$ 4. Solution : $$\boxed{x = -3 \text{ ou } x = 2}$$ **b) Négation de la proposition (P) : "$f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$"** 1. La proposition (P) dit que si $f(a) = f(b)$ alors $a = b$. 2. Sa négation est : $$\exists a,b \in \mathbb{R}, f(a) = f(b) \text{ et } a \neq b$$ **c) Déduire que (P) est fausse** 1. Trouvons $a \neq b$ tels que $f(a) = f(b)$. 2. Par exemple, $f(-3) = (-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$ et $f(2) = 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. 3. Ici, $f(-3) = f(2)$ mais $-3 \neq 2$, donc (P) est fausse. **d) Négation et valeur de vérité des propositions** 1. Proposition 1 : $\forall x \in \mathbb{R}, \forall a,b \in \mathbb{R}, x \geq 1 > x$. - Négation : $$\exists x,a,b \in \mathbb{R}, x \geq 1 \text{ et } x \leq x$$ (cette proposition est mal formulée, probablement une erreur de transcription). - Valeur de vérité : Faux car $x \geq 1 > x$ est contradictoire. 2. Proposition 2 : $$2a^2 + 2b^2 \geq (a + b)^2$$ - Développons le membre de droite : $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ - Réécrivons l'inégalité : $$2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$$ - Simplifions : $$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$ - Ceci est équivalent à : $$(a - b)^2 \geq 0$$ - Cette proposition est vraie pour tous $a,b$. - Négation : $$\exists a,b \in \mathbb{R}, (a - b)^2 < 0$$ (impossible) 3. Proposition 3 : $$\forall x,y \in \mathbb{R}, x \neq y \Rightarrow \frac{3x + 2}{x - 2} \neq \frac{3y + 2}{y - 2}$$ - Négation : $$\exists x,y \in \mathbb{R}, x \neq y \text{ et } \frac{3x + 2}{x - 2} = \frac{3y + 2}{y - 2}$$ - Cette proposition est vraie car la fonction $$f(x) = \frac{3x + 2}{x - 2}$$ est strictement monotone sur ses intervalles de définition. **4) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $$2^{2n} + 1 + 5^{2n}$$ est divisible par 3** 1. Initialisation ($n=0$) : $$2^{0} + 1 + 5^{0} = 1 + 1 + 1 = 3$$ qui est divisible par 3. 2. Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un $k \in \mathbb{N}$, $$2^{2k} + 1 + 5^{2k}$$ est divisible par 3. 3. Montrons que cela est vrai pour $k+1$ : $$2^{2(k+1)} + 1 + 5^{2(k+1)} = 2^{2k+2} + 1 + 5^{2k+2} = 4 \times 2^{2k} + 1 + 25 \times 5^{2k}$$ 4. Modulo 3, on a : $$4 \equiv 1 \pmod{3}, \quad 25 \equiv 1 \pmod{3}$$ 5. Donc : $$4 \times 2^{2k} + 1 + 25 \times 5^{2k} \equiv 2^{2k} + 1 + 5^{2k} \pmod{3}$$ 6. Par hypothèse de récurrence, ce dernier est divisible par 3. 7. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$. \boxed{\text{Le nombre } 2^{2n} + 1 + 5^{2n} \text{ est divisible par } 3 \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.}