1. Énoncé du problème : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 2iz + 1 + 2i = 0$. 2. Formule utilisée : Pour une équation quadratique $az^2 + bz + c = 0$, les solutions sont données par la formule quadratique $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=1$, $b=2i$, $c=1+2i$. 3. Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = (2i)^2 - 4 \times 1 \times (1+2i) = -4 - 4 - 8i = -8 - 8i$$ 4. Trouvons $\sqrt{\Delta}$ : Posons $\sqrt{-8 - 8i} = x + yi$ avec $x,y \in \mathbb{R}$. Alors $$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -8 - 8i$$ Ce qui donne le système : $$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = -8 \end{cases}$$ De la deuxième équation, $xy = -4$ donc $y = -4/x$ (avec $x \neq 0$). Substituons dans la première : $$x^2 - \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = -8 \Rightarrow x^2 - \frac{16}{x^2} = -8$$ Multiplions par $x^2$ : $$x^4 + 8x^2 - 16 = 0$$ Posons $t = x^2$, alors $$t^2 + 8t - 16 = 0$$ Calcul du discriminant : $$\Delta_t = 8^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 64 + 64 = 128$$ Solutions : $$t = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}$$ La valeur positive est $t = -4 + 4\sqrt{2} \approx 1.656 > 0$. Donc $x = \pm \sqrt{1.656}$. 5. Trouvons $y$ : $$y = -\frac{4}{x}$$ Prenons $x = \sqrt{1.656} \approx 1.287$, alors $$y = -\frac{4}{1.287} \approx -3.11$$ 6. Vérification rapide : $$x^2 - y^2 \approx 1.656 - 9.67 = -8.01 \approx -8$$ $$2xy \approx 2 \times 1.287 \times (-3.11) = -8$$ Donc $\sqrt{\Delta} = 1.287 - 3.11i$ ou $-1.287 + 3.11i$. 7. Calcul des racines : $$z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2i \pm (1.287 - 3.11i)}{2}$$ Donc $$z_1 = \frac{-2i + 1.287 - 3.11i}{2} = \frac{1.287 - 5.11i}{2} = 0.6435 - 2.555i$$ $$z_2 = \frac{-2i - 1.287 + 3.11i}{2} = \frac{-1.287 + 1.11i}{2} = -0.6435 + 0.555i$$ Réponse finale : $$z_1 \approx 0.644 - 2.555i, \quad z_2 \approx -0.644 + 0.555i$$