1. **Énoncé du problème :** On considère l'équation $(E): z^2 - (2 + i) z + 2i = 0$. 2. **Justification sans calcul des racines :** - Le produit des racines $z'$ et $z''$ est donné par le terme constant de l'équation divisée par le coefficient de $z^2$ : $$z' \cdot z'' = 2i.$$ Donc, $|z' \cdot z''| = |2i| = 2$. - La somme des racines est la conjugaison du coefficient de $z$ mais avec un signe changé : $$z' + z'' = 2 + i.$$ - En utilisant la formule pour le produit en module et argument : $$\arg(z' \cdot z'') = \arg(z') + \arg(z'') = \arg(2i).$$ - On sait que $2i$ a un argument $\pi/2$ (car il est sur l'axe imaginaire positif), donc : $$\arg(z') + \arg(z'') \equiv \frac{\pi}{2} \pmod {2\pi}.$$ 3. **Détermination de l'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ :** - Le milieu $I$ a pour affixe la moyenne des affixes des points $A$ et $B$ : $$z_I = \frac{z' + z''}{2} = \frac{2 + i}{2} = 1 + \frac{i}{2}.$$ 4. **Résolution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(E)$ :** - Le discriminant est : $$\Delta = (2+i)^2 - 4 \times 1 \times 2i = (2+i)^2 - 8i.$$ - Calculons $(2+i)^2$ : $$4 + 4i + i^2 = 4 + 4i -1 = 3 + 4i.$$ - Donc : $$\Delta = 3 + 4i - 8i = 3 - 4i.$$ - Pour extraire la racine de $\Delta$, posons $\sqrt{3 - 4i} = a + bi$ avec $a,b \in \mathbb{R}$. - On a $$a^2 - b^2 = 3; \quad 2ab = -4.$$\ - De $2ab = -4$, on a $ab = -2$, donc $b = \frac{-2}{a}$. - Substituons dans la première équation : $$a^2 - \left(\frac{-2}{a}\right)^2 = 3 \Rightarrow a^2 - \frac{4}{a^2} = 3.$$ - Multiplions par $a^2$ : $$a^4 - 4 = 3 a^2 \Rightarrow a^4 - 3 a^2 -4 = 0.$$ - Posons $X = a^2$, l'équation devient : $$X^2 - 3X -4 = 0.$$ - Résolvons : $$X = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}.$$\ - Les solutions sont $X_1 = 4$ et $X_2 = -1$ (à exclure car $a^2 \geq 0$). - Donc $a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$. - Pour $a=2$, $b=-2/a = -1$. - La racine du discriminant est donc : $$\sqrt{3 - 4i} = 2 - i.$$ - Les racines de $(E)$ sont : $$z' = \frac{2 + i - (2 - i)}{2} = \frac{i + i}{2} = i,$$ $$z'' = \frac{2 + i + (2 - i)}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$ 5. **Partie 3 : Résolution de $(E_\theta)$ avec $\theta \in [0, \pi/2]$ :** - L'équation est : $$z^2 - (\sin \theta + 2 + i) z + 2 \sin \theta + 2 i = 0.$$ - Somme des racines : $$z_1 + z_2 = \sin \theta + 2 + i,$$ - Produit des racines : $$z_1 z_2 = 2 \sin \theta + 2 i.$$ 6. **Montrer que $z_1$ est réel :** - Supposons que $z_1 \in \mathbb{R}$, alors en substituant $z = z_1$ réel dans l'équation, le terme imaginaire ne doit pas poser problème. - On teste par une méthode directe : \begin{align*} z_1^2 &- (\sin \theta + 2 + i) z_1 + 2 \sin \theta + 2 i = 0 \\ \Rightarrow z_1^2 - (\sin \theta + 2) z_1 - i z_1 + 2 \sin \theta + 2 i = 0. \end{align*} - Séparons parties réelles et imaginaires : \- Partie réelle : $$z_1^2 - (\sin \theta + 2) z_1 + 2 \sin \theta = 0,$$ \- Partie imaginaire : $$- z_1 + 2 = 0 \Rightarrow z_1 = 2.$$ - Comme $z_1 = 2$ résout la partie imaginaire, on vérifie la partie réelle : $$2^2 - (\sin \theta + 2) \times 2 + 2 \sin \theta = 4 - 2 \sin \theta - 4 + 2 \sin \theta = 0,$$ ce qui est vrai. - Donc $z_1 = 2$ est bien une solution réelle. 7. **Déterminer l'autre solution $z_2$ :** - En utilisant la somme des racines : $$z_2 = \sin \theta + 2 + i - z_1 = \sin \theta + 2 + i - 2 = \sin \theta + i.$$ **Réponses finales :** - $\arg(z') + \arg(z'') \equiv \frac{\pi}{2} \pmod {2\pi}$ et $|z' z''| = 2$. - Affixe du milieu $I$ : $z_I = 1 + \frac{i}{2}$. - Racines de $(E)$ : $z' = i$, $z'' = 2$. - Pour $(E_\theta)$, la solution réelle est $z_1 = 2$. - L'autre solution est $z_2 = \sin \theta + i$.