1. Énonçons le problème : Trouver tous les entiers $n \in \mathbb{Z}$ tels que $$n^2 + 7n^3 + 5 = 0.$$\n\n2. Réécrivons l'équation pour mieux voir les termes : $$7n^3 + n^2 + 5 = 0.$$\n\n3. Comme il s'agit d'un polynôme en $n$ de degré 3, cherchons d'abord des racines entières possibles en utilisant le théorème des racines rationnelles. Les racines entières possibles divisent le terme constant 5, donc $n \in \{\pm1, \pm5\}$.\n\n4. Testons ces valeurs :\n- Pour $n=1$ : $7(1)^3 + (1)^2 + 5 = 7 + 1 + 5 = 13 \neq 0$.\n- Pour $n=-1$ : $7(-1)^3 + (-1)^2 + 5 = -7 + 1 + 5 = -1 \neq 0$.\n- Pour $n=5$ : $7(5)^3 + (5)^2 + 5 = 7 \times 125 + 25 + 5 = 875 + 30 = 905 \neq 0$.\n- Pour $n=-5$ : $7(-5)^3 + (-5)^2 + 5 = 7 \times (-125) + 25 + 5 = -875 + 30 = -845 \neq 0$.\n\n5. Aucune racine entière parmi ces candidats. Vérifions si d'autres entiers proches peuvent annuler l'expression.\n- Pour $n=0$ : $0 + 0 + 5 = 5 \neq 0$.\n- Pour $n=2$ : $7(8) + 4 + 5 = 56 + 9 = 65 \neq 0$.\n- Pour $n=-2$ : $7(-8) + 4 + 5 = -56 + 9 = -47 \neq 0$.\n\n6. Comme le terme dominant $7n^3$ croît rapidement en valeur absolue, et que les essais proches de zéro ne donnent pas zéro, il n'y a pas d'entiers $n$ tels que $7n^3 + n^2 + 5 = 0$.\n\n7. Conclusion : Il n'existe aucun entier $n$ vérifiant l'équation donnée.