1. **Énoncé du problème :** Encadrer les expressions $x+y$, $x-y$, $\frac{x}{y}$, $x \times y$ sachant que $1 < x < 3$ et $2 < y < 5$. 2. **Formules et règles importantes :** Pour encadrer une somme, une différence, un produit ou un quotient, on utilise les bornes des variables et on calcule les valeurs extrêmes possibles. 3. **Calculs intermédiaires :** - Pour $x+y$ : $$1 + 2 < x + y < 3 + 5$$ $$3 < x + y < 8$$ - Pour $x-y$ : $$1 - 5 < x - y < 3 - 2$$ $$-4 < x - y < 1$$ - Pour $\frac{x}{y}$ : Le quotient est minimal quand le numérateur est minimal et le dénominateur maximal, et maximal quand le numérateur est maximal et le dénominateur minimal. $$\frac{1}{5} < \frac{x}{y} < \frac{3}{2}$$ - Pour $x \times y$ : $$1 \times 2 < x \times y < 3 \times 5$$ $$2 < x \times y < 15$$ 4. **Encadrements de $x$ dans les cas donnés :** - $-2 < 2x + 3 < 1$ : Soustraire 3 : $$-5 < 2x < -2$$ Diviser par 2 : $$-\frac{5}{2} < x < -1$$ - $1 < -3x - 2 < 3$ : Ajouter 2 : $$3 < -3x < 5$$ Diviser par -3 (inversion des inégalités) : $$-\frac{5}{3} < x < -1$$ - $4 < \frac{2}{x} < 6$ : Inverser en faisant attention au signe de $x$ : Si $x > 0$, alors $$\frac{1}{6} < \frac{x}{2} < \frac{1}{4}$$ Multiplier par 2 : $$\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$$ Si $x < 0$, les inégalités s'inversent, mais ici on suppose $x > 0$ pour cohérence. 5. **Résolution des équations avec valeurs absolues :** - $|2x - 3| = 2$ : $$2x - 3 = 2 \quad \text{ou} \quad 2x - 3 = -2$$ $$2x = 5 \quad \text{ou} \quad 2x = 1$$ $$x = \frac{5}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{2}$$ - $|-x - 4| = -5$ : Valeur absolue ne peut pas être négative, pas de solution. - $|4x - 1| = 0$ : $$4x - 1 = 0$$ $$x = \frac{1}{4}$$ - $|x - 6| = |2x - 7|$ : Deux cas : $$x - 6 = 2x - 7 \quad \Rightarrow \quad -6 + 7 = 2x - x \Rightarrow x = 1$$ $$x - 6 = -(2x - 7) \quad \Rightarrow \quad x - 6 = -2x + 7 \Rightarrow 3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}$$ 6. **Résolution des inéquations avec valeurs absolues :** - $|x - 7| < 1$ : $$-1 < x - 7 < 1$$ $$6 < x < 8$$ - $|2x - 1| < 0$ : Valeur absolue toujours positive ou nulle, donc pas de solution. - $|7x + 2| < -2$ : Pas de solution car valeur absolue ne peut être négative. 7. **Encadrement de $x = 16.18924$ et $y = 2.52783$ au dixième près :** - $x$ au dixième près : $$16.1 < x < 16.2$$ - $y$ au dixième près : $$2.5 < y < 2.6$$ 8. **Encadrement de $xy$ et $x - y$ à partir des encadrements :** - Pour $xy$ : $$16.1 \times 2.5 < xy < 16.2 \times 2.6$$ $$40.25 < xy < 42.12$$ - Pour $x - y$ : $$16.1 - 2.6 < x - y < 16.2 - 2.5$$ $$13.5 < x - y < 13.7$$ 9. **Compléter le tableau :** - a) Valeur approchée par défaut au centième de $x$ : $$16.18$$ - b) Approximation décimale par excès d'ordre 3 de $y$ : $$2.528$$ - c) Arrondi d'ordre 2 de $y$ : $$2.53$$ - d) Troncature à l'unité de $x$ : $$16$$