1. **Énoncé du problème :** Soient $x$ et $y$ réels tels que $|x-y| \leq 2$ et $1 \leq x \leq 5$. 2. **Encadrement de $xy$ :** On sait que $x$ est entre 1 et 5, et $|x-y| \leq 2$ implique $y \in [x-2, x+2]$. 3. **Calcul des bornes de $xy$ :** Pour $x$ fixé, $y$ varie entre $x-2$ et $x+2$. Le produit $xy$ est donc dans l'intervalle $[x(x-2), x(x+2)]$. 4. **Trouvons les bornes globales sur $xy$ pour $x \in [1,5]$ :** - $x(x-2) = x^2 - 2x$ est une parabole qui atteint son minimum sur $[1,5]$ à $x=1$ car la dérivée $2x-2$ est positive pour $x>1$. - $x(x+2) = x^2 + 2x$ est croissante sur $[1,5]$. Calculons : - $x(x-2)$ à $x=1$ : $1 \times (1-2) = -1$ - $x(x-2)$ à $x=5$ : $5 \times (5-2) = 15$ - $x(x+2)$ à $x=1$ : $1 \times (1+2) = 3$ - $x(x+2)$ à $x=5$ : $5 \times (5+2) = 35$ Donc $xy$ est encadré entre $-1$ et $35$. 5. **Encadrement de $x+y$, $x-y$, et $\frac{x}{y} + 2$ :** - $x+y$ avec $y \in [x-2, x+2]$ donne $x+y \in [x+(x-2), x+(x+2)] = [2x-2, 2x+2]$. Pour $x \in [1,5]$, $2x-2$ varie de 0 à 8, $2x+2$ de 4 à 12. Donc $x+y \in [0,12]$. - $x-y$ avec $|x-y| \leq 2$ donc $x-y \in [-2,2]$. - Pour $\frac{x}{y} + 2$, il faut que $y \neq 0$. Puisque $y \in [x-2, x+2]$ et $x \geq 1$, $y$ est au moins $1-2 = -1$. On doit considérer les cas où $y$ est proche de zéro pour éviter la division par zéro. 6. **Détermination du signe de $(2x - 10) \left( \frac{y}{x + 2} - 6 \right)$ :** - $2x - 10 = 2(x-5)$, donc signe négatif pour $x<5$, nul à $x=5$, positif pour $x>5$. - $\frac{y}{x+2} - 6$ dépend de $y$ et $x$. 7. **Montrer que $|3y - 6| \leq 9$ :** - $|3y - 6| = 3|y - 2|$. - Comme $|x-y| \leq 2$ et $x \in [1,5]$, $y$ est dans $[x-2, x+2]$. - Le maximum de $|y-2|$ est atteint aux extrémités. - Pour $x=1$, $y \in [-1,3]$, donc $|y-2| \leq \max(|-1-2|, |3-2|) = \max(3,1) = 3$. - Donc $|3y - 6| \leq 3 \times 3 = 9$. **Réponse finale :** - $xy \in [-1,35]$ - $x+y \in [0,12]$ - $x-y \in [-2,2]$ - $|3y - 6| \leq 9$ "slug":"encadrement produit", "subject":"algèbre", "desmos":{"latex":"y=x*y","features":{"intercepts":true,"extrema":true}}, "q_count":5