1. Énoncé du problème : Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $3 < x < 5$ et $4 < y < 7$. Il faut encadrer les expressions suivantes : $x - y$, $xy$, $x^2 + y^2$, et $\frac{2xy}{x^2 + y^2}$. 2. Encadrement de $x - y$ : - Puisque $3 < x < 5$ et $4 < y < 7$, on a $$x - y > 3 - 7 = -4$$ $$x - y < 5 - 4 = 1$$ Donc, $$-4 < x - y < 1$$ 3. Encadrement de $xy$ : - Le produit de deux nombres dans des intervalles est encadré par les produits des bornes extrêmes. - Les valeurs possibles sont : $3 \times 4 = 12$, $3 \times 7 = 21$, $5 \times 4 = 20$, $5 \times 7 = 35$. - Le minimum est $12$ et le maximum est $35$. Donc, $$12 < xy < 35$$ 4. Encadrement de $x^2 + y^2$ : - Pour $x^2$, puisque $3 < x < 5$, on a $$3^2 = 9 < x^2 < 5^2 = 25$$ - Pour $y^2$, puisque $4 < y < 7$, on a $$4^2 = 16 < y^2 < 7^2 = 49$$ - En sommant, $$9 + 16 = 25 < x^2 + y^2 < 25 + 49 = 74$$ Donc, $$25 < x^2 + y^2 < 74$$ 5. Encadrement de $\frac{2xy}{x^2 + y^2}$ : - On utilise les bornes précédentes : - Numérateur : $2xy$ avec $12 < xy < 35$ donc $$24 < 2xy < 70$$ - Dénominateur : $x^2 + y^2$ avec $25 < x^2 + y^2 < 74$ - Pour encadrer la fraction, on considère les combinaisons extrêmes : - Minimum possible : $\frac{24}{74} \approx 0.324$ - Maximum possible : $\frac{70}{25} = 2.8$ Donc, $$0.324 < \frac{2xy}{x^2 + y^2} < 2.8$$ 6. Deuxième problème : Soit $a$ un nombre réel tel que $$-2 < \frac{2a - 3}{2} < -1$$ 7. Montrons que $$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$$ 8. Résolution : - Multiplions toute l'inégalité par 2 (positive, donc sens conservé) : $$-4 < 2a - 3 < -2$$ - Ajoutons 3 à chaque membre : $$-1 < 2a < 1$$ - Divisons par 2 : $$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$$ 9. Correction : L'inégalité donnée ne conduit pas à $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ mais à $-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$. 10. Vérification : - Si on veut montrer $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$, il faut vérifier l'inégalité initiale ou corriger l'énoncé. 11. Conclusion : - Avec l'inégalité donnée, on obtient $$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$$ - Donc, la conclusion $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ n'est pas correcte à partir de l'inégalité fournie.