1. Énoncé du problème : Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $x \in ]-1,1]$ et $2y \in [-4,-2]$. On cherche à encadrer $2xy$ et $x^2 + y^2$. 2. Trouvons d'abord les intervalles de $x$ et $y$ : - $x \in ]-1,1]$ signifie $-1 < x \leq 1$. - $2y \in [-4,-2]$ donc $y \in [-2,-1]$. 3. Encadrement de $2xy$ : - Puisque $2xy = 2 \times x \times y$, on utilise les bornes de $x$ et $y$. - $x$ varie entre $-1$ (exclu) et $1$ (inclus), $y$ entre $-2$ et $-1$. - Le produit $xy$ est donc entre les valeurs extrêmes obtenues en combinant les bornes : - $x = 1$, $y = -2$ donne $xy = -2$. - $x = 1$, $y = -1$ donne $xy = -1$. - $x \to -1^+$, $y = -2$ donne $xy \to 2$. - $x \to -1^+$, $y = -1$ donne $xy \to 1$. - Ainsi, $xy \in ]-2, -1] \cup [1, 2[$ mais comme $x$ ne prend pas la valeur $-1$, on considère l'encadrement global de $xy$ entre $-2$ et $2$. - Donc $2xy \in ]-4,4[$. 4. Encadrement de $x^2 + y^2$ : - $x^2$ avec $x \in ]-1,1]$ donne $x^2 \in [0,1]$. - $y^2$ avec $y \in [-2,-1]$ donne $y^2 \in [1,4]$. - Donc $x^2 + y^2 \in [0+1, 1+4] = [1,5]$. 5. Encadrement de $(x+y)^4$ : - On sait que $(x+y)^4 = ((x+y)^2)^2$ et que la fonction $t \mapsto t^4$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$. - Trouvons l'encadrement de $x+y$ : - $x \in ]-1,1]$, $y \in [-2,-1]$ donc $x+y \in ]-3,0]$. - Comme $(x+y)^4 = ((x+y)^2)^2$, on calcule $(x+y)^2$ : - $(x+y)^2 \in [0,9[$ car $x+y$ varie entre $-3$ (exclu) et $0$ (inclus). - Donc $(x+y)^4 \in [0,81[$. Réponse finale : - $2xy \in ]-4,4[$ - $x^2 + y^2 \in [1,5]$ - $(x+y)^4 \in [0,81[$