1. **Énoncé du problème :** Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \in [-2,25]$ et $-3 < b < -1$. **a)** Trouver un encadrement de $2a + 7$, $3b - 14$, $3b - a$. **b)** Simplifier $X = 2a + 7 - 13b - 14 + |3b - a|$. --- 2. **Énoncé :** Soient $x$ et $y$ réels avec une valeur approchée de $2x + 5$ à 2 près par défaut et $5/7$ une valeur approchée de $y$ à 0,5 près par excès. **a)** Montrer que $-2 < x < -1$ et $2 < y < 5/7$. **b)** Donner un encadrement de $x \times y$ et $\frac{x^2}{y}$. --- 3. **Résoudre dans $\mathbb{R}$ :** **a)** $|5 - 3x| = |x + 1|$. **b)** $|x^2 - 4| + 3 = 0$. **c)** $|4x - \frac{7}{5}| < \frac{1}{3} \frac{2}{7}$. **d)** $|1 - 2x| > 5$. --- 4. **Montrer que pour $x,y > 0$ avec $x < y$ :** $$\frac{x+1}{y+1} > \frac{x}{y}$$ --- **Exercice 9 :** Soit $x$ réel tel que $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$ et $A = \frac{1+x}{1+2x}$. 1) Montrer : $$A - (1 - x) \leq \frac{3x^2}{1+2x}$$ 2) Montrer : $$\frac{2}{1+2x} < 6$$ Puis en déduire : $$|A - (1 - x)| < \frac{6x^2}{1+2x}$$ 3) En déduire que $\frac{4}{5}$ est une valeur approchée de $\frac{4,8}{4,4}$ à $2,4 \times 10^{-1}$ près. --- **Détail des solutions :** 1.a) Encadrement de $2a + 7$ : - $a \in [-2,25]$ donc $2a \in [-4, 50]$. - $2a + 7 \in [-4 + 7, 50 + 7] = [3, 57]$. Encadrement de $3b - 14$ : - $b \in (-3, -1)$ donc $3b \in (-9, -3)$. - $3b - 14 \in (-9 - 14, -3 - 14) = (-23, -17)$. Encadrement de $3b - a$ : - $3b \in (-9, -3)$, $a \in [-2,25]$. - $3b - a \in (-9 - 2, -3 - (-2,25)) = (-11, -0,75)$. 1.b) Simplification de $X$ : $$X = 2a + 7 - 13b - 14 + |3b - a| = (2a + 7 - 14) - 13b + |3b - a| = (2a - 7) - 13b + |3b - a|$$ 2.a) Valeur approchée de $2x + 5$ à 2 près par défaut signifie : $$2x + 5 \leq 1 < 2x + 5 + 2$$ Donc : $$-1 \leq 2x < -4 \Rightarrow -2 \leq x < -1$$ Valeur approchée de $y$ à $0,5$ près par excès : $$y - 0,5 < \frac{5}{7} \leq y$$ Donc : $$2 < y < \frac{5}{7}$$ 2.b) Encadrement de $x y$ et $\frac{x^2}{y}$ à partir des bornes. 3.a) Résoudre $|5 - 3x| = |x + 1|$. - Cas 1 : $5 - 3x = x + 1 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$. - Cas 2 : $5 - 3x = -(x + 1) \Rightarrow 5 - 3x = -x - 1 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3$. 3.b) $|x^2 - 4| + 3 = 0$ impossible car $|x^2 - 4| \geq 0$ donc pas de solution. 3.c) $|4x - \frac{7}{5}| < \frac{1}{3} \frac{2}{7} = \frac{2}{21}$. - Résoudre $-\frac{2}{21} < 4x - \frac{7}{5} < \frac{2}{21}$. 3.d) $|1 - 2x| > 5$. - $1 - 2x > 5$ ou $1 - 2x < -5$. - $x < -2$ ou $x > 3$. 4. Montrer que pour $x,y > 0$ et $x < y$ : $$\frac{x+1}{y+1} > \frac{x}{y}$$ - Multiplier par $y(y+1) > 0$ : $y(x+1) > x(y+1)$ - $xy + y > xy + x$ donc $y > x$ ce qui est vrai. Exercice 9 : 1) Calcul de $A - (1 - x)$ : $$A - (1 - x) = \frac{1+x}{1+2x} - 1 + x = \frac{1+x - (1+2x)(1 - x)}{1+2x}$$ Développer le dénominateur et simplifier pour montrer l'inégalité. 2) Montrer que $\frac{2}{1+2x} < 6$ puis en déduire l'encadrement de $|A - (1 - x)|$. 3) Utiliser les résultats précédents pour montrer que $\frac{4}{5}$ est une valeur approchée de $\frac{4,8}{4,4}$ à $2,4 \times 10^{-1}$ près. --- **Réponse finale :** Les encadrements et solutions sont donnés ci-dessus.