1. **Énoncé du problème :** On a l'inégalité double $$\frac{3}{4} \leq \frac{2}{a+1} \leq \frac{5}{3}$$. On doit : - Encadrer la variable $a$. - En déduire un encadrement pour $A = \frac{a^2 + 1}{a^2}$ et $B = \frac{2(a^2 - 1)}{a^2}$, puis comparer $A$ et $B$. 2. **Encadrement de $a$ :** On part de l'inégalité double : $$\frac{3}{4} \leq \frac{2}{a+1} \leq \frac{5}{3}$$ On va traiter chaque inégalité séparément. **Première inégalité :** $$\frac{3}{4} \leq \frac{2}{a+1}$$ On multiplie par $a+1$ en faisant attention au signe de $a+1$. - Si $a+1 > 0$ (donc $a > -1$), alors on multiplie sans changer le sens : $$\frac{3}{4}(a+1) \leq 2$$ $$\Rightarrow \frac{3}{4}a + \frac{3}{4} \leq 2$$ $$\Rightarrow \frac{3}{4}a \leq 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$$ $$\Rightarrow a \leq \frac{5}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$$ - Si $a+1 < 0$ (donc $a < -1$), on multiplie par un nombre négatif, donc on inverse le sens : $$\frac{3}{4}(a+1) \geq 2$$ $$\Rightarrow \frac{3}{4}a + \frac{3}{4} \geq 2$$ $$\Rightarrow \frac{3}{4}a \geq \frac{5}{4}$$ $$\Rightarrow a \geq \frac{5}{3}$$ Mais $a < -1$ et $a \geq \frac{5}{3}$ sont incompatibles, donc cette solution est rejetée. **Deuxième inégalité :** $$\frac{2}{a+1} \leq \frac{5}{3}$$ De même, on multiplie par $a+1$ en fonction de son signe. - Si $a+1 > 0$ (donc $a > -1$), on a : $$2 \leq \frac{5}{3}(a+1)$$ $$\Rightarrow 2 \leq \frac{5}{3}a + \frac{5}{3}$$ $$\Rightarrow 2 - \frac{5}{3} \leq \frac{5}{3}a$$ $$\Rightarrow \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \leq \frac{5}{3}a$$ $$\Rightarrow a \geq \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$$ - Si $a+1 < 0$ (donc $a < -1$), on inverse le sens : $$2 \geq \frac{5}{3}(a+1)$$ $$\Rightarrow 2 \geq \frac{5}{3}a + \frac{5}{3}$$ $$\Rightarrow 2 - \frac{5}{3} \geq \frac{5}{3}a$$ $$\Rightarrow \frac{1}{3} \geq \frac{5}{3}a$$ $$\Rightarrow a \leq \frac{1}{5}$$ Mais $a < -1$ et $a \leq \frac{1}{5}$ sont compatibles, donc cette solution est possible. **Synthèse :** - Pour $a > -1$, on a $\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{5}{3}$. - Pour $a < -1$, on a $a < -1$ (mais la première inégalité ne tient pas dans ce cas), donc rejeté. Donc l'encadrement de $a$ est : $$\boxed{\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{5}{3}}$$ 3. **Encadrement de $A$ et $B$ :** On rappelle : $$A = \frac{a^2 + 1}{a^2} = 1 + \frac{1}{a^2}$$ $$B = \frac{2(a^2 - 1)}{a^2} = 2 - \frac{2}{a^2}$$ Comme $a$ est dans $[\frac{1}{5}, \frac{5}{3}]$, on calcule les bornes de $a^2$ : $$\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} \leq a^2 \leq \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$$ Donc : - $\frac{1}{a^2}$ varie entre $\frac{1}{\frac{25}{9}} = \frac{9}{25}$ (quand $a^2$ est grand) et $\frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$ (quand $a^2$ est petit). **Encadrement de $A$ :** $$A = 1 + \frac{1}{a^2}$$ $$\Rightarrow 1 + \frac{9}{25} \leq A \leq 1 + 25$$ $$\Rightarrow \frac{34}{25} \leq A \leq 26$$ **Encadrement de $B$ :** $$B = 2 - \frac{2}{a^2}$$ $$\Rightarrow 2 - 2 \times 25 \leq B \leq 2 - 2 \times \frac{9}{25}$$ $$\Rightarrow 2 - 50 \leq B \leq 2 - \frac{18}{25}$$ $$\Rightarrow -48 \leq B \leq \frac{32}{25}$$ 4. **Comparaison de $A$ et $B$ :** - $A$ est toujours positif et supérieur à $\frac{34}{25} \approx 1.36$. - $B$ varie de $-48$ à environ $1.28$. Donc, pour tout $a$ dans l'intervalle, on a : $$B \leq \frac{32}{25} < \frac{34}{25} \leq A$$ Ainsi, $A$ est toujours strictement supérieur à $B$. **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{5}{3}, \quad \frac{34}{25} \leq A \leq 26, \quad -48 \leq B \leq \frac{32}{25}, \quad \text{et } A > B}$$