1. **Énoncé du problème** : Trouver l'ensemble des réels $x$ pour lesquels chaque expression est définie, c'est-à-dire où l'expression a un sens mathématique. 2. **Rappel important** : La fonction logarithme népérien $\ln(y)$ est définie uniquement pour $y > 0$. --- ### Exercice 34 **a) $\ln(x - 3)$** - Condition : $x - 3 > 0$ - Résolution : $x > 3$ - Ensemble de définition : $\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}}$ **b) $\ln(2 - x)$** - Condition : $2 - x > 0$ - Résolution : $x < 2$ - Ensemble de définition : $\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}}$ **c) $\frac{1}{\ln(x)}$** - Conditions : - $\ln(x)$ défini $\Rightarrow x > 0$ - Dénominateur non nul $\Rightarrow \ln(x) \neq 0$ - Résolution de $\ln(x) = 0$ : $x = 1$ - Ensemble de définition : $\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0, x \neq 1\}}$ --- ### Exercice 35 **a) $\ln(x^2)$** - Condition : $x^2 > 0$ - $x^2 = 0$ seulement si $x=0$ - Ensemble de définition : $\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}}$ **b) $\ln(x^2 + 1)$** - Condition : $x^2 + 1 > 0$ - Toujours vrai pour tout $x$ réel car $x^2 \geq 0$ - Ensemble de définition : $\boxed{\mathbb{R}}$ **c) $\ln(x^2 - 1)$** - Condition : $x^2 - 1 > 0$ - Résolution : $(x-1)(x+1) > 0$ - Signe positif pour $x < -1$ ou $x > 1$ - Ensemble de définition : $\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ ou } x > 1\}}$ --- ### Exercice 36 **a) $\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)$** - Condition : $\frac{x}{x-1} > 0$ - Étudions le signe de $\frac{x}{x-1}$ : - Zéros et points d'interdiction : $x=0$ (numérateur nul), $x=1$ (dénominateur nul, interdit) - Tableau de signes : - Pour $x < 0$, numérateur négatif, dénominateur négatif $\Rightarrow$ fraction positive - Pour $0 < x < 1$, numérateur positif, dénominateur négatif $\Rightarrow$ fraction négative - Pour $x > 1$, numérateur positif, dénominateur positif $\Rightarrow$ fraction positive - Ensemble de définition : $\boxed{(-\infty,0) \cup (1,+\infty)}$ **b) $\ln(x^2 - 3x + 2)$** - Condition : $x^2 - 3x + 2 > 0$ - Factorisation : $(x-1)(x-2) > 0$ - Signe positif pour $x < 1$ ou $x > 2$ - Ensemble de définition : $\boxed{\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1 \text{ ou } x > 2\}}$ --- **Résumé final :** - 34a) $x > 3$ - 34b) $x < 2$ - 34c) $x > 0$ et $x \neq 1$ - 35a) $x \neq 0$ - 35b) $\mathbb{R}$ - 35c) $x < -1$ ou $x > 1$ - 36a) $x < 0$ ou $x > 1$ - 36b) $x < 1$ ou $x > 2$ Ces ensembles correspondent aux domaines où les expressions logarithmiques sont définies et où les dénominateurs ne sont pas nuls.