1. **Énoncé du problème :** Nous devons analyser plusieurs tables de valeurs pour déterminer si les fonctions sont affines ou non affines en utilisant les premières différences. 2. **Rappel :** Une fonction est affine si les premières différences (différences successives des valeurs de $y$) sont constantes. --- ### 2. Analyse des tables (première question) **a)** | $x$ | $y$ | Première différence | |---|---|---| | 0 | 5 | - | | 1 | 6 | $6-5=1$ | | 2 | 8 | $8-6=2$ | | 3 | 12 | $12-8=4$ | Les premières différences ne sont pas constantes (1, 2, 4), donc la fonction **n'est pas affine**. **b)** | $x$ | $y$ | Première différence | |---|---|---| | 3 | -4 | - | | 4 | -1 | $-1 - (-4) = 3$ | | 5 | 2 | $2 - (-1) = 3$ | | 6 | 5 | $5 - 2 = 3$ | Les premières différences sont constantes (3), donc la fonction est **affine**. **c)** | $x$ | $y$ | Première différence | |---|---|---| | -1 | 0 | - | | 0 | 1 | $1 - 0 = 1$ | | 1 | 2 | $2 - 1 = 1$ | | 2 | 4 | $4 - 2 = 2$ | Les premières différences ne sont pas constantes (1, 1, 2), donc la fonction **n'est pas affine**. **d)** | $x$ | $y$ | Première différence | |---|---|---| | -5 | 8 | - | | -3 | 4 | $4 - 8 = -4$ | | -1 | 0 | $0 - 4 = -4$ | | 1 | -4 | $-4 - 0 = -4$ | Les premières différences sont constantes (-4), donc la fonction est **affine**. --- ### 3. Vitesse du parachutiste **a) Résistance nulle** | Temps (s) | Vitesse (m/s) | Première différence | |---|---|---| | 0 | 0 | - | | 1 | 9.8 | $9.8 - 0 = 9.8$ | | 2 | 19.6 | $19.6 - 9.8 = 9.8$ | | 3 | 29.4 | $29.4 - 19.6 = 9.8$ | | 4 | 39.2 | $39.2 - 29.4 = 9.8$ | | 5 | 49.0 | $49.0 - 39.2 = 9.8$ | Les premières différences sont constantes, donc la fonction est **affine**. **b) Résistance de l’air** | Temps (s) | Vitesse (m/s) | Première différence | |---|---|---| | 0 | 0 | - | | 1 | 9.6 | $9.6 - 0 = 9.6$ | | 2 | 16.6 | $16.6 - 9.6 = 7.0$ | | 3 | 23.1 | $23.1 - 16.6 = 6.5$ | | 4 | 30.8 | $30.8 - 23.1 = 7.7$ | | 5 | 34.2 | $34.2 - 30.8 = 3.4$ | Les premières différences ne sont pas constantes, donc la fonction **n'est pas affine**. --- ### 4. Nombre de segments **a)** | Nombre de maisons | Nombre de segments | Première différence | |---|---|---| | 1 | 6 | - | | 2 | 11 | $11 - 6 = 5$ | | 3 | 15 | $15 - 11 = 4$ | Les différences ne sont pas constantes (5, 4), mais on peut vérifier la valeur pour 4 maisons : Si on suppose affine, on peut approximer la différence moyenne $\approx \frac{5+4}{2} = 4.5$. Mais mieux, on peut vérifier si la fonction est affine en calculant la différence entre 15 et 6 : $15 - 6 = 9$ pour 2 pas, donc moyenne 4.5. On peut approximer le nombre de segments pour 4 maisons : $$15 + 4.5 = 19.5$$ Mais comme le nombre de segments doit être entier, on peut supposer 19 ou 20. **b)** Données manquantes, pas possible de répondre. --- ### 5. Fonctions affines ou non **a)** | Nombre de cercles | Nombre de points d’intersection | Première différence | |---|---|---| | 1 | 2 | - | | 2 | 4 | $4 - 2 = 2$ | | 3 | 6 | $6 - 4 = 2$ | Les premières différences sont constantes (2), donc la fonction est **affine**. Équation : $y = 2x$. Pour $x=7$ : $$y = 2 \times 7 = 14$$ **b)** | Nombre de côtés | Nombre de diagonales | Première différence | |---|---|---| | 4 | 2 | - | | 5 | 5 | $5 - 2 = 3$ | | 6 | 7 | $7 - 5 = 2$ | Les premières différences ne sont pas constantes, donc la fonction **n'est pas affine**. --- ### 6. Suite avec cure-dents **a)** Table de valeurs (exemple hypothétique) : | Image | Nombre de cure-dents | |---|---| | 1 | 3 | | 2 | 5 | | 3 | 7 | **b)** Calcul des premières différences : $5 - 3 = 2$, $7 - 5 = 2$ donc constantes, la fonction est **affine**. **c)** Équation : $$y = 2x + 1$$ (car pour $x=1$, $y=3$, donc $3 = 2 \times 1 + 1$) **d)** Pour $x=10$ : $$y = 2 \times 10 + 1 = 21$$ --- ### 7. Carton mouillé **a)** Table de valeurs (hauteur $h$ de 0 à 10, largeur fixe 16 cm) : | Hauteur (cm) | Aire (cm$^2$) | |---|---| | 0 | 0 | | 1 | $16 \times 1 = 16$ | | 2 | $16 \times 2 = 32$ | | 3 | $16 \times 3 = 48$ | | 4 | $16 \times 4 = 64$ | | 5 | $16 \times 5 = 80$ | | 6 | $16 \times 6 = 96$ | | 7 | $16 \times 7 = 112$ | | 8 | $16 \times 8 = 128$ | | 9 | $16 \times 9 = 144$ | | 10 | $16 \times 10 = 160$ | **b)** Les premières différences sont constantes (16), donc la fonction est **affine**. **c)** Pour une hauteur mouillée de 50 cm : $$\text{Aire} = 16 \times 50 = 800$$ --- **Résumé :** - Fonctions affines ont des premières différences constantes. - Équations affines sont de la forme $y = mx + b$. - Extrapolation se fait en remplaçant $x$ par la valeur souhaitée.