1. **Enoncé du problème** : Trouver tous les entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x^2 - y^2 = 28$. 2. **Compréhension de l'équation** : L'équation $x^2 - y^2 = 28$ est une différence de carrés, ce qui peut se factoriser comme $$(x - y)(x + y) = 28.$$ 3. **Étude des facteurs** : Puisque $x$ et $y$ sont naturels, $x \geq y \geq 0$, donc $x - y \geq 0$ et $x + y \geq 0$. Notons $a = x - y$ et $b = x + y$, avec $a,b \in \mathbb{N}$ et $a b = 28$. 4. **Lister les paires de facteurs de 28** : Les paires $(a,b)$ possibles avec $a \leq b$ sont : - $(1, 28)$ - $(2, 14)$ - $(4, 7)$ 5. **Résoudre pour $x$ et $y$ à partir de $a$ et $b$** : On a $$x = \frac{a + b}{2}, \quad y = \frac{b - a}{2}.$$ Pour chaque paire : - $(1,28)$: $x = \frac{1+28}{2} = 14.5$ (pas un entier), $y = \frac{28-1}{2} = 13.5$ (pas un entier), pas valide. - $(2,14)$: $x = \frac{2+14}{2} = 8$, $y = \frac{14-2}{2} = 6$. Valide car entiers naturels. - $(4,7)$: $x = \frac{4+7}{2} = 5.5$ (pas un entier), $y = \frac{7-4}{2} = 1.5$ (pas un entier), pas valide. 6. **Conclusion** : Le seul couple $(x,y)$ dans $\mathbb{N}$ qui satisfait $x^2 - y^2 = 28$ est $(8,6)$. **Réponse finale** : $\boxed{(x,y) = (8,6)}$