1. **Énoncé du problème :** Nous devons développer les expressions suivantes : a) $$\sum_{i=-2}^4 4(x_i - 3)^4$$ b) $$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=-3}^6 (12x_i - ji) y$$ --- 2. **Rappel des règles importantes :** - La somme $$\sum_{i=a}^b f(i)$$ signifie qu'on additionne les valeurs de la fonction $$f(i)$$ pour $$i$$ allant de $$a$$ à $$b$$. - Pour développer une expression comme $$(x_i - 3)^4$$, on peut utiliser la formule du binôme de Newton, mais ici, sans valeurs précises de $$x_i$$, on laisse l'expression sous forme de somme. - Pour une double somme $$\sum_i \sum_j$$, on additionne d'abord sur $$j$$ pour chaque $$i$$, puis on somme les résultats sur $$i$$. --- 3. **Développement de a) :** L'expression est $$\sum_{i=-2}^4 4(x_i - 3)^4$$. - Chaque terme est $$4(x_i - 3)^4$$. - Sans connaître les valeurs de $$x_i$$, on ne peut pas développer davantage. - Donc, la somme reste : $$\sum_{i=-2}^4 4(x_i - 3)^4$$ C'est la forme développée la plus simple possible sans données supplémentaires. --- 4. **Développement de b) :** L'expression est $$\sum_{i=1}^3 \sum_{j=-3}^6 (12x_i - ji) y$$. - Pour chaque $$i$$ de 1 à 3, on calcule la somme sur $$j$$ de $$-3$$ à $$6$$ de $$ (12x_i - ji) y$$. - On peut écrire : $$\sum_{i=1}^3 y \sum_{j=-3}^6 (12x_i - ji) = y \sum_{i=1}^3 \left( \sum_{j=-3}^6 12x_i - \sum_{j=-3}^6 ji \right)$$ - Comme $$12x_i$$ ne dépend pas de $$j$$, $$\sum_{j=-3}^6 12x_i = 12x_i \times (6 - (-3) + 1) = 12x_i \times 10 = 120x_i$$. - Pour $$\sum_{j=-3}^6 ji$$, on peut sortir $$i$$ car c'est constant par rapport à $$j$$ : $$\sum_{j=-3}^6 ji = i \sum_{j=-3}^6 j$$ - La somme des entiers de $$-3$$ à $$6$$ est : $$-3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 15$$ - Donc $$\sum_{j=-3}^6 ji = i \times 15$$. - Ainsi, pour chaque $$i$$ : $$\sum_{j=-3}^6 (12x_i - ji) = 120x_i - 15i$$ - La somme totale est donc : $$y \sum_{i=1}^3 (120x_i - 15i) = y \left( 120 \sum_{i=1}^3 x_i - 15 \sum_{i=1}^3 i \right)$$ - La somme $$\sum_{i=1}^3 i = 1 + 2 + 3 = 6$$. - Donc : $$y \left( 120 \sum_{i=1}^3 x_i - 15 \times 6 \right) = y \left( 120 \sum_{i=1}^3 x_i - 90 \right)$$ --- **Réponses finales :** a) $$\sum_{i=-2}^4 4(x_i - 3)^4$$ (forme développée la plus simple sans valeurs de $$x_i$$). b) $$y \left( 120 \sum_{i=1}^3 x_i - 90 \right)$$ --- **Explication terre à terre :** - Pour a), on additionne 9 termes (de $$i=-2$$ à $$4$$) chacun étant $$4$$ fois $$(x_i - 3)^4$$. - Pour b), on fait une double addition : pour chaque $$i$$ de 1 à 3, on additionne 10 termes (de $$j=-3$$ à $$6$$) de la forme $$(12x_i - ji) y$$. - En simplifiant la somme sur $$j$$, on obtient une expression plus simple en fonction de $$x_i$$ et $$i$$. - Finalement, on somme sur $$i$$ pour obtenir la réponse finale.