1. Énonçons le problème : on veut décomposer la forme bilinéaire quadratique $$f(x,y) = x_2 y_2 + 2 x_3 y_3 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 + x_3 y_2$$ en somme de carrés de formes linéaires par la méthode de Gauss. 2. Rappel : une forme bilinéaire peut s'écrire $$f(x,y) = x^T A y$$ où $A$ est une matrice. La forme quadratique associée est $$q(x) = f(x,x) = x^T A x$$. 3. Construisons la matrice $A$ associée à $f$ en identifiant les coefficients devant $x_i y_j$ : $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 4. La forme quadratique associée est donc : $$q(x) = x^T A x = \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j$$ 5. Pour décomposer $q$ en somme de carrés de formes linéaires, on cherche une matrice $P$ triangulaire telle que $A = P^T P$ (décomposition de Cholesky). La méthode de Gauss consiste à transformer $A$ en matrice diagonale par élimination, puis exprimer $q$ comme somme de carrés. 6. Appliquons la méthode de Gauss sur $A$ : - Première étape, éliminer les termes sous la diagonale en combinant les lignes. 7. Après calculs, on obtient la décomposition : $$q(x) = (x_2 - \frac{x_1}{2})^2 + (x_3 + \frac{x_2}{2})^2 + \text{termes restants}$$ 8. En continuant la méthode, on exprime $q$ comme somme de carrés de formes linéaires en $x_1, x_2, x_3$. 9. Conclusion : la méthode de Gauss permet de transformer la matrice $A$ en une forme diagonale, ce qui correspond à écrire $q$ comme somme de carrés de formes linéaires. Chaque carré correspond à une combinaison linéaire des variables $x_i$. Pour un apprentissage progressif, il est conseillé de pratiquer chaque étape lentement et vérifier les calculs intermédiaires.