1. **Énoncé du problème :** Un artiste peintre a une toile rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur $x$. La toile est encadrée par un cadre de largeur 3 cm. Le cadre est recouvert d'une feuille d'or coûtant 0,90 par cm². Il faut écrire une formule pour calculer le coût du recouvrement du cadre en fonction de $x$. 2. **Données et formules :** - Largeur de la toile : $x$ cm - Longueur de la toile : $2x$ cm - Largeur du cadre : 3 cm - Coût par cm² de feuille d'or : 0,90 3. **Calcul des dimensions extérieures du cadre :** - Largeur totale = largeur toile + 2 fois la largeur du cadre = $x + 2 \times 3 = x + 6$ - Longueur totale = longueur toile + 2 fois la largeur du cadre = $2x + 6$ 4. **Calcul des aires :** - Aire totale (toile + cadre) = $(2x + 6)(x + 6)$ - Aire de la toile seule = $2x \times x = 2x^2$ - Aire du cadre = aire totale - aire toile = $(2x + 6)(x + 6) - 2x^2$ 5. **Développement de l'aire totale :** $$ (2x + 6)(x + 6) = 2x^2 + 12x + 6x + 36 = 2x^2 + 18x + 36 $$ 6. **Aire du cadre :** $$ 2x^2 + 18x + 36 - 2x^2 = 18x + 36 $$ 7. **Calcul du coût :** Le coût est le produit de l'aire du cadre par le coût au cm² : $$ \text{Coût} = 0.90 \times (18x + 36) = 0.90(18x + 36) $$ 8. **Formule finale simplifiée :** $$ \text{Coût} = 16.2x + 32.4 $$ **Conclusion :** La formule pour calculer le coût du recouvrement du cadre en fonction de la largeur $x$ de la toile est $$ \boxed{C(x) = 16.2x + 32.4} $$