1. Énonçons le problème : tracer la courbe de la fonction $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 10$. 2. La fonction est un polynôme de degré 3, donc sa courbe est une courbe cubique. 3. Pour analyser la fonction, calculons sa dérivée première $f'(x)$ pour trouver les points critiques (extrema) : $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$$ 4. Trouvons les racines de $f'(x)$ en résolvant $3x^2 - 12x + 12 = 0$ : Divisons par 3 : $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ Cette équation est un carré parfait : $$(x - 2)^2 = 0$$ Donc $x = 2$ est un point critique unique. 5. Calculons $f(2)$ pour connaître la valeur de la fonction en ce point : $$f(2) = 2^3 - 6 \times 2^2 + 12 \times 2 - 10 = 8 - 24 + 24 - 10 = -2$$ 6. La dérivée seconde $f''(x)$ permet de déterminer la nature de ce point critique : $$f''(x) = 6x - 12$$ Calculons $f''(2)$ : $$f''(2) = 6 \times 2 - 12 = 12 - 12 = 0$$ La dérivée seconde est nulle, donc le test classique ne suffit pas pour conclure. 7. En étudiant le signe de $f'(x)$ autour de $x=2$, on constate que la dérivée ne change pas de signe (car racine double), donc $x=2$ est un point d'inflexion. 8. Pour tracer la courbe, on peut aussi calculer les points d'intersection avec les axes : - Axe des ordonnées ($x=0$) : $$f(0) = -10$$ - Axe des abscisses (résoudre $f(x)=0$) : La résolution exacte est complexe, mais on peut approximer ou utiliser un logiciel. 9. En résumé, la courbe de $f(x)$ est une cubique avec un point d'inflexion en $(2, -2)$, coupe l'axe des ordonnées en $(0, -10)$, et a une forme générale de cubique. Réponse finale : La fonction $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 10$ a un point d'inflexion en $x=2$ avec $f(2) = -2$ et coupe l'axe des ordonnées en $-10$. Sa courbe est une cubique classique avec ces caractéristiques.