1. Énonçons le problème : On a la fonction $f(x) = \frac{x}{1+x}$. 2. On cherche l'expression de $f^n(x)$, c'est-à-dire la composition de $f$ avec elle-même $n$ fois, pour $n \in \mathbb{N}^*$. 3. Calculons les premières compositions pour identifier un motif : - $f^1(x) = f(x) = \frac{x}{1+x}$ - $f^2(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{x}{1+x}\right) = \frac{\frac{x}{1+x}}{1 + \frac{x}{1+x}} = \frac{\frac{x}{1+x}}{\frac{1+x+x}{1+x}} = \frac{x}{1+2x}$ - $f^3(x) = f(f^2(x)) = f\left(\frac{x}{1+2x}\right) = \frac{\frac{x}{1+2x}}{1 + \frac{x}{1+2x}} = \frac{\frac{x}{1+2x}}{\frac{1+2x+x}{1+2x}} = \frac{x}{1+3x}$ 4. On remarque que $f^n(x) = \frac{x}{1 + nx}$. 5. Vérification par récurrence : - Initialisation : pour $n=1$, $f^1(x) = \frac{x}{1+x}$, vrai. - Hypothèse : supposons $f^n(x) = \frac{x}{1 + nx}$. - Passage à $n+1$ : $$f^{n+1}(x) = f(f^n(x)) = f\left(\frac{x}{1 + nx}\right) = \frac{\frac{x}{1 + nx}}{1 + \frac{x}{1 + nx}} = \frac{\frac{x}{1 + nx}}{\frac{1 + nx + x}{1 + nx}} = \frac{x}{1 + (n+1)x}$$ 6. Conclusion : $$f^n(x) = \frac{x}{1 + nx}$$ C'est l'expression générale de la $n$-ième composition de $f$ avec elle-même.