1. Problème 1 : Soient $a$ et $b$ deux réels de même signe. Comparer $A=(a-b)^2$ et $B=a^2+b^2$. 2. Rappel : Pour tous réels $x$ et $y$, $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. 3. Calculons $A$ : $$A = (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ 4. Comparons $A$ et $B$ : $$B = a^2 + b^2$$ 5. La différence est : $$B - A = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 2ab$$ 6. Comme $a$ et $b$ sont de même signe, $ab \geq 0$, donc $2ab \geq 0$. 7. Conclusion : - Si $a$ et $b$ sont non nuls, $B > A$. - Si $a=0$ ou $b=0$, $B = A$. --- 8. Problème 2 : Soit $a$ un réel quelconque. Comparer $A = a^2 + 1$ et $B = (a+1)^2$. 9. Développons $B$ : $$B = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$$ 10. Calculons la différence : $$B - A = (a^2 + 2a + 1) - (a^2 + 1) = 2a$$ 11. Conclusion : - Si $a > 0$, alors $B > A$. - Si $a = 0$, alors $B = A$. - Si $a < 0$, alors $B < A$. --- 12. Problème 3 : Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. Comparer $A = a + b$ et $B = a^2 + 3b^2$. 13. Étudions la différence : $$B - A = a^2 + 3b^2 - (a + b) = a^2 - a + 3b^2 - b$$ 14. Comme $0 < a < b$, analysons les termes : - $a^2 - a = a(a - 1)$, qui est négatif si $0 < a < 1$ et positif si $a > 1$. - $3b^2 - b = b(3b - 1)$, qui est positif si $b > \frac{1}{3}$. 15. Puisque $b > a > 0$, et en particulier si $b > 1$, alors $3b^2 - b > 0$ et $a^2 - a$ peut être négatif ou positif selon $a$. 16. En général, pour $a$ et $b$ positifs et $b$ assez grand, $B > A$. 17. Pour vérifier, prenons un exemple : $a=0.5$, $b=1$. - $A = 0.5 + 1 = 1.5$ - $B = 0.5^2 + 3 \times 1^2 = 0.25 + 3 = 3.25$ - Donc $B > A$. 18. Conclusion : Pour $0 < a < b$, $B$ est généralement plus grand que $A$.