1. **Énoncé du problème** : Comparer $2a$ et $a^2 + 1$ pour $a \in \mathbb{R}$. 2. **Formule et règles importantes** : Pour comparer deux expressions, on peut étudier le signe de leur différence. Ici, on considère $$D = (a^2 + 1) - 2a.$$ Si $D > 0$, alors $a^2 + 1 > 2a$ ; si $D < 0$, alors $a^2 + 1 < 2a$ ; si $D = 0$, alors égalité. 3. **Calcul de la différence** : $$D = a^2 + 1 - 2a = a^2 - 2a + 1.$$ On reconnaît un trinôme qui peut être factorisé : $$D = (a - 1)^2.$$ 4. **Analyse du signe** : Le carré $(a - 1)^2$ est toujours positif ou nul pour tout $a \in \mathbb{R}$. Donc, $$D = (a - 1)^2 \geq 0.$$ 5. **Conclusion** : - Pour tout $a$, $a^2 + 1 \geq 2a$. - L'égalité se produit uniquement lorsque $a - 1 = 0$, c'est-à-dire $a = 1$. **Réponse finale** : $$a^2 + 1 \geq 2a \quad \text{pour tout } a \in \mathbb{R},$$ avec égalité si et seulement si $a = 1$. Ainsi, $a^2 + 1$ est toujours supérieur ou égal à $2a$.