1. **Exercice 8: Comparer a et b dans chaque cas** ① Comparer $a = \sqrt{5}$ et $b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$. - Calculons approximativement: $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt{2} \approx 1.414$. - Donc $b \approx 1.732 + 1.414 = 3.146$. - Conclusion: $a < b$. ② Comparer $a = \frac{n}{n+1}$ et $b = \frac{n+1}{n+2}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. - Étudions le signe de $a - b = \frac{n}{n+1} - \frac{n+1}{n+2}$. - Mettons au même dénominateur: $\frac{n(n+2) - (n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n - (n^2 + 2n + 1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{-1}{(n+1)(n+2)} < 0$. - Donc $a < b$. ③ Comparer $a = 2\sqrt{n} - 1$ et $b = n$. - Pour $n=1$, $a=2(1)-1=1$, $b=1$, égalité. - Pour $n>1$, étudions $a - b = 2\sqrt{n} - 1 - n$. - Posons $f(n) = 2\sqrt{n} - 1 - n$. - Pour $n=4$, $f(4) = 2\times 2 -1 -4 = 4 -1 -4 = -1 < 0$. - Pour $n$ grand, $n$ domine, donc $a < b$. - Pour $n$ petit, test $n=0.25$ (non entier naturel), mais pour $n=1$, égalité. - Conclusion: $a \leq b$ avec égalité en $n=1$. ④ Comparer $a = 3^{1350}$ et $b = 2^{2025}$. - Prenons le logarithme base 2: $\log_2 a = 1350 \log_2 3$, $\log_2 b = 2025$. - Calculons $1350 \log_2 3$. - $\log_2 3 \approx 1.58496$, donc $1350 \times 1.58496 = 2139.7$. - Comme $2139.7 > 2025$, $a > b$. 2. **Exercice 9: Montrer les inégalités** ① Montrer $a^2 + b^2 \geq 2ab$ pour $a,b > 0$. - Utilisons l'identité: $(a - b)^2 \geq 0$. - Développons: $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab$. ② Montrer $a + b \geq 2\sqrt{ab}$. - C'est l'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM). - Preuve: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 \Rightarrow a + b \geq 2\sqrt{ab}$. ③ Montrer $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$. - Posons $x = \frac{a}{b} > 0$. - Alors $x + \frac{1}{x} \geq 2$ par AM-GM. ④ Si $a > b > 0$, montrer $\frac{a}{a+1} > \frac{b}{b+1}$. - Étudions la fonction $f(t) = \frac{t}{t+1}$ pour $t > 0$. - $f'(t) = \frac{1}{(t+1)^2} > 0$, donc $f$ est strictement croissante. - Donc $a > b \Rightarrow f(a) > f(b)$. 3. **Exercice 10: Encadrement des expressions avec $x,y$** Données: $1 \leq x \leq 2$, $-3 \leq y \leq -1$. - $x + y$: min $= 1 + (-3) = -2$, max $= 2 + (-1) = 1$. - $x - y$: min $= 1 - (-1) = 2$, max $= 2 - (-3) = 5$. - $xy$: min $= 2 \times (-3) = -6$, max $= 1 \times (-1) = -1$ (car $x$ positif, $y$ négatif). - $\frac{x}{y}$: min $= \frac{1}{-1} = -1$, max $= \frac{2}{-3} \approx -0.666$. - $x(y - 2)$: min $= 1 \times (-3 - 2) = -5$, max $= 2 \times (-1 - 2) = -6$ (ordre à vérifier). - En fait, $y-2$ varie de $-5$ à $-3$, donc $x(y-2)$ varie de $1 \times (-5) = -5$ à $2 \times (-3) = -6$. - Donc min $= -6$, max $= -5$. 4. **Exercice 11: Étude de $A(x) = \frac{2x+3}{x+2}$ pour $x \in [-\frac{1}{2},1]$** 1. Trouver un encadrement de $A(x)$. - Calculons $A(-\frac{1}{2}) = \frac{2(-\frac{1}{2}) + 3}{-\frac{1}{2} + 2} = \frac{-1 + 3}{1.5} = \frac{2}{1.5} = \frac{4}{3} \approx 1.333$. - Calculons $A(1) = \frac{2(1) + 3}{1 + 2} = \frac{5}{3} \approx 1.666$. - Comme $A$ est continue et dérivable, on étudie la dérivée. - $A'(x) = \frac{(2)(x+2) - (2x+3)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x - 3}{(x+2)^2} = \frac{1}{(x+2)^2} > 0$. - Donc $A$ est strictement croissante sur l'intervalle. - Encadrement: $1.333 \leq A(x) \leq 1.666$. 2. Trouver $a,b$ tels que $A(x) = a + \frac{b}{x+2}$. - Posons $A(x) = a + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b}{x+2} = \frac{ax + 2a + b}{x+2}$. - Égalons numérateurs: $2x + 3 = ax + 2a + b$. - Coefficients: $a = 2$, $2a + b = 3 \Rightarrow 4 + b = 3 \Rightarrow b = -1$. - Donc $A(x) = 2 - \frac{1}{x+2}$. 3. Trouver un autre encadrement de $A(x)$. - Étudions $-\frac{1}{x+2}$ sur $x \in [-\frac{1}{2},1]$. - $x+2$ varie de $1.5$ à $3$. - Donc $\frac{1}{x+2}$ varie de $\frac{1}{3} \approx 0.333$ à $\frac{1}{1.5} = 0.666$. - Donc $-\frac{1}{x+2}$ varie de $-0.666$ à $-0.333$. - Ainsi $A(x) = 2 + (-\frac{1}{x+2})$ varie de $2 - 0.666 = 1.333$ à $2 - 0.333 = 1.666$. - Même encadrement que précédemment. 4. Le plus fin des deux encadrements est $[1.333, 1.666]$. 5. **Exercice 12:** 1. Comparer $2\sqrt{7}$ et $3\sqrt{3}$. - $2\sqrt{7} \approx 2 \times 2.6458 = 5.2916$. - $3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196$. - Donc $2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$. 2. Développer $(3\sqrt{3} - 2\sqrt{7})^2$. - $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. - $= (3\sqrt{3})^2 - 2 \times 3\sqrt{3} \times 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2$ - $= 9 \times 3 - 12 \sqrt{21} + 4 \times 7 = 27 - 12\sqrt{21} + 28 = 55 - 12\sqrt{21}$. 3. Simplifier $A = \sqrt{55} - 12\sqrt{21}$. - $A$ est déjà sous forme simplifiée. - Notons que $A = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{7})^2$ d'après le calcul précédent. 6. **Exercice 13:** Données: $x \geq \frac{1}{2}$, $y \leq 1$, $x - y = 3$. 1. Calculer $B = \sqrt{(2x - 1)^2} + \sqrt{(2y - 2)^2}$. - $B = |2x - 1| + |2y - 2|$. - Comme $x \geq \frac{1}{2}$, $2x - 1 \geq 0$, donc $|2x - 1| = 2x - 1$. - Comme $y \leq 1$, $2y - 2 \leq 0$, donc $|2y - 2| = 2 - 2y$. - Donc $B = 2x - 1 + 2 - 2y = 2x - 2y + 1$. - Or $x - y = 3 \Rightarrow 2(x - y) = 6$. - Donc $B = 6 + 1 = 7$. 2. Vérifier $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$. - $x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3$. - Comme $y \leq 1$, $x - 3 \leq 1 \Rightarrow x \leq 4$. - Comme $x \geq \frac{1}{2}$, alors $y = x - 3 \geq \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$. - Donc $\frac{1}{2} \leq x \leq 4$ et $-\frac{5}{2} \leq y \leq 1$. 3. Calculer $C = |x + y - 5| + |x + y + 2|$. - $x + y = x + (x - 3) = 2x - 3$. - Étudions les signes des expressions: - $2x - 3 - 5 = 2x - 8$. - $2x - 3 + 2 = 2x - 1$. - Pour $x \in [\frac{1}{2},4]$: - $2x - 8 \leq 0$ pour $x \leq 4$, égal à 0 en $x=4$. - $2x - 1 \geq 0$ pour $x \geq \frac{1}{2}$. - Donc $|2x - 8| = 8 - 2x$, $|2x - 1| = 2x - 1$. - Donc $C = (8 - 2x) + (2x - 1) = 7$. 7. **Exercice 14: Résoudre les équations et inéquations** ① $|x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2$. ② $|x - 5| = -1$ impossible car valeur absolue $\geq 0$. ③ $3|x| - 1 = 4 \Rightarrow 3|x| = 5 \Rightarrow |x| = \frac{5}{3}$, donc $x = \pm \frac{5}{3}$. ④ $|x + 2| - 2|x| = 0 \Rightarrow |x + 2| = 2|x|$. - Étudions selon $x$. - Cas 1: $x \geq 0$, alors $|x+2| = x+2$, $|x|=x$. - $x + 2 = 2x \Rightarrow 2 = x$. - Cas 2: $x < 0$, alors $|x| = -x$. - Si $x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$, $|x+2| = x+2$. - $x + 2 = 2(-x) = -2x \Rightarrow x + 2 = -2x \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$. - Si $x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2$, $|x+2| = -(x+2) = -x - 2$. - $-x - 2 = 2(-x) = -2x \Rightarrow -x - 2 = -2x \Rightarrow x = -2$. - Mais $x < -2$ et $x = -2$ contradiction. - Solutions: $x = 2$ et $x = -\frac{2}{3}$. ⑤ $|6x + 1| < 2$. - $-2 < 6x + 1 < 2$. - $-3/2 < x < 1/2$. ⑥ $|3x - 2| \geq 1$. - $3x - 2 \geq 1$ ou $3x - 2 \leq -1$. - $3x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1$ ou $3x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{3}$. 8. **Exercice 15:** Données: $0 < y < x$, $7 < x^2 + y^2 < 12$, $1 < xy < 2$. 1. Montrer $3 < x + y < 4$. - $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. - Min: $7 < x^2 + y^2$, $1 < xy$. - Donc $(x + y)^2 > 7 + 2(1) = 9 \Rightarrow x + y > 3$. - Max: $x^2 + y^2 < 12$, $xy < 2$. - Donc $(x + y)^2 < 12 + 4 = 16 \Rightarrow x + y < 4$. 2. En déduire: (a) $\sqrt{3} < x - y < \sqrt{10}$. - $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. - Min: $7 - 4 = 3$, max: $12 - 2 = 10$. - Donc $\sqrt{3} < x - y < \sqrt{10}$. (b) $\frac{3 - \sqrt{10}}{2} < y < 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$. - $x + y > 3 \Rightarrow y > 3 - x$. - $x - y < \sqrt{10} \Rightarrow y > x - \sqrt{10}$. - En combinant et utilisant $0 < y < x$, on obtient l'encadrement donné. 9. **Exercice 16: Écrire les intervalles** ① $-4 \leq x \leq -1$ : $[-4, -1]$. ② $x < 3$ ou $x > 5$ : $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$. ③ $x \geq 0$ et $x \leq 7$ : $[0,7]$. ④ $x = -2$ ou $x \geq 3$ : $\{-2\} \cup [3, +\infty)$. ⑤ $x \neq 0$ et $-2 < x < 1$ : $(-2,0) \cup (0,1)$. ⑥ $x \leq -4$ et $x > -3$ : ensemble vide car $x$ ne peut être simultanément $\leq -4$ et $> -3$. 10. **Exercice 17: Déterminer $I \cup J$ et $I \cap J$** ① $I = [-1,3]$, $J = [2, +\infty)$ - $I \cup J = [-1, +\infty)$ - $I \cap J = [2,3]$ ② $I = (-\infty, 3]$, $J = [1,5]$ - $I \cup J = (-\infty, 5]$ - $I \cap J = [1,3]$ ③ $I = (-\infty,1) \cup (1,2)$, $J = [-2,2]$ - $I \cup J = (-\infty,2)$ - $I \cap J = [-2,1) \cup (1,2)$ ④ $I = [-3,2]$, $J = [3, +\infty)$ - $I \cup J = [-3,2] \cup [3, +\infty)$ - $I \cap J = \emptyset$ ⑤ $I = \mathbb{R}_+^* = (0, +\infty)$, $J = [-2,3]$ - $I \cup J = (-2, +\infty)$ - $I \cap J = (0,3]$ 11. **Exercice 18:** 1. Encadrement de $\frac{5}{14} \approx 0.3571$. - Amplitude 0.1: $[0.3071, 0.4071]$. - Amplitude 0.05: $[0.3321, 0.3821]$. 2. Encadrement de $\sqrt{131} \approx 11.4455$. - Amplitude 1: $[10.9455, 11.9455]$. - Amplitude 0.5: $[10.9455, 11.9455]$ (même ici car centré). 3. Approximation de $\frac{3}{7} \approx 0.428571$ à $10^{-3}$ près. - Par défaut: $0.428$. - Par excès: $0.429$. 4. Valeur approchée de $\frac{5}{7} \approx 0.7142857$ à $10^{-4}$ près: $0.7143$.