1. Énonçons le problème : comparer les deux nombres $1+4\sqrt{3x}$ et $1+5\sqrt{2x}$. 2. Pour comparer ces deux expressions, on peut étudier le signe de leur différence : $$\Delta = (1+4\sqrt{3x}) - (1+5\sqrt{2x}) = 4\sqrt{3x} - 5\sqrt{2x}.$$ 3. Simplifions cette différence : $$\Delta = 4\sqrt{3x} - 5\sqrt{2x} = \sqrt{x}(4\sqrt{3} - 5\sqrt{2}).$$ 4. Puisque $\sqrt{x} \geq 0$ pour $x \geq 0$, le signe de $\Delta$ dépend du signe de $4\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$. 5. Calculons approximativement : $4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.732 = 6.928$, $5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07$. 6. Donc, $4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} \approx 6.928 - 7.07 = -0.142 < 0$. 7. Ainsi, $\Delta = \sqrt{x}(4\sqrt{3} - 5\sqrt{2}) < 0$ pour tout $x > 0$. 8. Conclusion : $$1+4\sqrt{3x} < 1+5\sqrt{2x} \quad \text{pour tout } x > 0.$$