1. **Énoncé du problème :** Comparer les nombres donnés dans chaque cas. --- ### Exercice 1 1. Comparer $x=\frac{7}{11}$ et $y=\frac{11}{7}$. - On peut comparer en mettant au même dénominateur ou en évaluant numériquement. - $\frac{7}{11} \approx 0.636$ et $\frac{11}{7} \approx 1.571$. - Donc $x < y$. 2. Comparer $x = -\frac{5}{11}\sqrt{2}$ et $y = -\frac{5}{17}$. - Calculons approximativement : $\sqrt{2} \approx 1.414$. - $x \approx -\frac{5}{11} \times 1.414 = -0.642$. - $y = -\frac{5}{17} \approx -0.294$. - Comme $x$ et $y$ sont négatifs, le plus grand en valeur absolue est le plus petit. - $x < y$ car $-0.642 < -0.294$. 3. Comparer $x = -\sqrt{3} + 5\sqrt{7}$ et $y = 2\sqrt{7} + \sqrt{3}$. - Calculons approximativement : $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt{7} \approx 2.645$. - $x \approx -1.732 + 5 \times 2.645 = -1.732 + 13.225 = 11.493$. - $y \approx 2 \times 2.645 + 1.732 = 5.29 + 1.732 = 7.022$. - Donc $x > y$. 4. Comparer $x = -6\sqrt{2}$ et $y = -2\sqrt{6}$. - $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{6} \approx 2.449$. - $x \approx -6 \times 1.414 = -8.484$. - $y \approx -2 \times 2.449 = -4.898$. - Comme les deux sont négatifs, $x < y$. --- ### Exercice 2 1. Comparer $\frac{3}{7}$ et $\frac{5}{3}$. - $\frac{3}{7} \approx 0.429$, $\frac{5}{3} \approx 1.667$. - Donc $\frac{3}{7} < \frac{5}{3}$. 2. Comparer $\frac{11}{3}\sqrt{7}$ et $\frac{5}{3}\sqrt{7}$. - $\sqrt{7} \approx 2.645$. - $\frac{11}{3}\sqrt{7} = \frac{11}{3} \times 2.645 \approx 9.7$. - $\frac{5}{3}\sqrt{7} = \frac{5}{3} \times 2.645 \approx 4.41$. - Donc $\frac{11}{3}\sqrt{7} > \frac{5}{3}\sqrt{7}$. 3. Comparer $x = 3\sqrt{7} - 5\sqrt{5}$ et $y$ non donné, donc on suppose comparer $x$ à 0. - $\sqrt{7} \approx 2.645$, $\sqrt{5} \approx 2.236$. - $x \approx 3 \times 2.645 - 5 \times 2.236 = 7.935 - 11.18 = -3.245$. - Donc $x < 0$. --- ### Exercice 3 Données : $3 \leq x \leq 7$, $1 \leq y \leq 5$, $-6 \leq z \leq -2$. a) Encadrement des expressions : - $x + y$ : minimum $3+1=4$, maximum $7+5=12$. - $x - y$ : minimum $3-5=-2$, maximum $7-1=6$. - $xy$ : minimum $3 \times 1=3$, maximum $7 \times 5=35$ (car $x,y$ positifs). - $4x + 3y$ : minimum $4 \times 3 + 3 \times 1=12+3=15$, maximum $4 \times 7 + 3 \times 5=28+15=43$. - $-8y$ : minimum $-8 \times 5 = -40$, maximum $-8 \times 1 = -8$. b) Encadrement : - $x + z$ : minimum $3 + (-6) = -3$, maximum $7 + (-2) = 5$. - $x - z$ : minimum $3 - (-2) = 5$, maximum $7 - (-6) = 13$. - $xz$ : minimum $7 \times (-6) = -42$, maximum $3 \times (-2) = -6$ (car $z$ négatif). - $\frac{y}{x}$ : minimum $\frac{1}{7} \approx 0.143$, maximum $\frac{5}{3} \approx 1.667$. - $\frac{x}{z}$ : minimum $\frac{3}{-2} = -1.5$, maximum $\frac{7}{-6} \approx -1.167$ (plus grand est moins négatif donc maximum est -1.167). - $x^2 + z^2$ : minimum $3^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45$, maximum $7^2 + (-2)^2 = 49 + 4 = 53$. --- ### Exercice 4 1. Montrer que $m - \frac{1}{3} \leq 12$ et $3m + \frac{1}{2} \geq 4$. - Première inégalité : $m \leq 12 + \frac{1}{3} = \frac{36}{3} + \frac{1}{3} = \frac{37}{3} \approx 12.333$. - Deuxième inégalité : $3m \geq 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ donc $m \geq \frac{7}{6} \approx 1.167$. Donc $\frac{7}{6} \leq m \leq \frac{37}{3}$. 2. Données : $AB=5m$, $AC=6m$, $BC=9m$, $CE=3m$, $(EF) \parallel (AB)$. 1) Calculer $FC$ et $EF$. - $BC = 9m$, $CE = 3m$ donc $FC = BC - CE = 9m - 3m = 6m$. - Par Thalès, $\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{CB} = \frac{3m}{9m} = \frac{1}{3}$. - Donc $EF = \frac{1}{3} \times AB = \frac{1}{3} \times 5m = \frac{5m}{3}$. 2) Points $I$ sur $[BC]$ et $D$ sur $[AC]$ tels que $CI=6m$ et $CD=4m$. a) Montrer que $(DI) \parallel (AB)$. - Par Thalès, si $\frac{CD}{CA} = \frac{CI}{CB}$ alors $(DI) \parallel (AB)$. - $CA = 6m$, $CB = 9m$. - $\frac{CD}{CA} = \frac{4m}{6m} = \frac{2}{3}$. - $\frac{CI}{CB} = \frac{6m}{9m} = \frac{2}{3}$. - Les rapports sont égaux donc $(DI) \parallel (AB)$. b) Calculer $DI$. - Par Thalès, $\frac{DI}{AB} = \frac{CD}{CA} = \frac{2}{3}$. - $DI = \frac{2}{3} \times AB = \frac{2}{3} \times 5m = \frac{10m}{3}$. --- ### Exercice 5 Données : $OM=2$, $OS=3$, $OF=6$, $FN=12$, $(FN) \parallel (MS)$. 1) Calculer $ON$ et $MS$. - $ON = OF + FN = 6 + 12 = 18$. - Par Thalès, $\frac{OM}{OS} = \frac{FN}{MS}$. - $\frac{2}{3} = \frac{12}{MS}$ donc $MS = \frac{12 \times 3}{2} = 18$. 2) Point $E$ sur la demi-droite $(FN)$ tel que $EF=18$. - Montrer que $(SF) \parallel (MN)$. - Par Thalès, si $\frac{EF}{FN} = \frac{SM}{MN}$ alors $(SF) \parallel (MN)$. - $EF=18$, $FN=12$, donc $\frac{EF}{FN} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$. - $SM = OS - OM = 3 - 2 = 1$. - $MN = ?$ mais on peut supposer que $MN$ est proportionnel à $SM$ par la même raison. - Comme $\frac{EF}{FN} = \frac{3}{2}$, et $SM=1$, alors $MN = \frac{2}{3} SM = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$. - Donc $(SF) \parallel (MN)$ par Thalès. --- **Réponses finales :** - Ex1 : $x < y$, $x < y$, $x > y$, $x < y$. - Ex2 : $\frac{3}{7} < \frac{5}{3}$, $\frac{11}{3}\sqrt{7} > \frac{5}{3}\sqrt{7}$, $x < 0$. - Ex3 : Encadrements donnés ci-dessus. - Ex4 : $\frac{7}{6} \leq m \leq \frac{37}{3}$, $FC=6m$, $EF=\frac{5m}{3}$, $(DI) \parallel (AB)$, $DI=\frac{10m}{3}$. - Ex5 : $ON=18$, $MS=18$, $(SF) \parallel (MN)$.